martes, 30 de diciembre de 2008

Teorema 4.2.4 El lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos distintos pertenecientes al mismo plano, es justame

Teorema 4.2.4 El lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos distintos pertenecientes al mismo plano, es justamente la mediatriz del segmento determinado por estos puntos.

Demostración. Sean A y B dos puntos distintos en el plano, sea g el lugar geométrico g = {P: PA=PB }y sea m la mediatriz del segmento AB.

Tenemos que demostrar que g=m. Para esto procederemos por casos demostrando que ambos conjuntos se contienen mutuamente, es decir que gm y que mg.
Primeramente vamos a ver que gm. Tomemos P∈ g, entonces por la definición de g, AP =PB.
Considerando P∉ AB tenemos que P es punto medio de AB esto es P∉ m. Ahora, si P ∉AB entonces el triangulo ΔAPB es isósceles pues AP = PB y como m es mediatriz de ΔAPB entonces m es mediana y pasa por P. Así P∈ m.


Como en ambos casos, ya sea que P este o no sobre el segmento AB, tenemos que P∈ m. Se sigue que g ∈m.
Para demostrar que m ∈g tomemos inicialmente P∈ m.
Si P∈ AB entonces P es punto medio de AB y de esta forma PA=PB . De aquí que P∈ g. Y si por el contrario, P ∉AB, entonces m es mediatriz y mediana del ΔAPB relativa al lado AB. Por lo tanto el triangulo ΔAPB es isósceles con base AB. De esta manera AP=PB, es decir P∈ g.


Así podemos concluir que siempre P∈ g. Por lo tanto m∈ g.

Las tres medianas de cualquier triangulo se intersectan en un mismo punto.

Teorema 4.2.3 Las tres medianas de cualquier triangulo se intersectan en un mismo punto.
Demostración. Demostraremos primero que dos medianas se cortan en un tercio de la longitud total de cada una.

Tomaremos un triangulo cualquiera ΔABC y llamemos D y E a los puntos medios de AB y BC , respectivamente. Tracemos las medianas AE y DC y llamemos F a la intersección entre estas.


Ahora, tomemos G y H puntos medios de AF y FC respectivamente. Por la proposición ( 2.2.1 ) ,DE = ½AC. Además DE es paralelo a AC, ya que D y E son puntos medios de AB y BC respectivamente para el triangulo ΔABC.
Y de manera semejante tenemos que GH = ½AC y GH es paralelo a AC, pues G y H son puntos medios de AF, FC respectivamente para el triangulo ΔAFC.
Por lo tanto GH = DE y GH es paralelo a DE. Y por el teorema (3.1.5) Se sigue que DEGH es un paralelogramo. Así las diagonales DH y GE e cortan mutuamente en partes iguales, es decir GF= FE y DF = FH . Y como G y H son los puntos medios de AF y FC respectivamente, entonces.

AG = GF = FE y CH = HF =DF.
Finalmente, tomando M como punto medio de AC, la mediana BM deberá cortar en un tercio a cualquiera de las otras dos medianas, digamos a AE, teniendo que pasar necesariamente por F.
De esta forma podemos concluir que tres medianas de cualquier triangulo se intersectan en un mismo punto.
Observemos que cualquier punto que se encuentre en la mediatriz de un segmento dado, equidista de los extremos del segmento. Para garantizar la implicación inversa demostraremos el siguiente teorema.

4.2.2 Teorema inverso de la bisectriz

Teorema 4.2.2 (Teorema inverso de la bisectriz) Sea P un punto perteneciente al lado BC de un triangulo ΔABC. Si los segmentos BC y PC son proporcionales a los lados AB y AC entonces AP biseca al ángulo Ð BAC.

Demostración. Sea Q el punto sobre la prolongación del lado BA tal que AQ = AC, como en la figura.






Por hipótesis






Y sustituyendo AC tenemos




Por lo que

En otras palabras


Asì por el criterio L.A.L. , los triángulos ΔABP y ΔQBC son semejantes. Se sigue que ÐBAP = ÐBQC, luego AP y QC son paralelos.
De esta forma tenemos que ÐPAC = ÐACQ y como AC = AQ entonces, por el teorema (4.1.1 )
ÐACQ = ÐAQC .

Por lo tanto
ÐBAP = ÐBQC = ÐAQC = ÐACQ = ÐPAC
Que es lo que queríamos demostrar.

domingo, 28 de diciembre de 2008

4.2 Líneas en los triángulos

Teorema 4.2.1 (Teorema de la bisectriz) La bisectriz de cualquier ángulo interior de un triangulo determina, en el lado opuesto dos segmentos proporcionales a los respectivos lados que forman el ángulo considerado.

Demostración. Sea ΔABC un triángulo cualquiera, si la bisectriz del ángulo BAC, corta a BC en P, entonces debemos probar que.






Llamémosle Q a la intersección de la prolongación de BA con una paralela a AP que pase por C.

Como PA y CQ son paralelas, entonces
ÐBAP= ÐAQC
ÐPAC= ÐACQ

Y como además BAP = PAC , por ser AD bisectriz del ángulo BAC, entonces
ACQ= AQC

Así, por el ejercicio (4.1.1), AC= AQ y el triangulo ΔACQ es isósceles.
Por otro lado, utilizando el teorema de Tales, como PA es paralela a CQ, entonces







Sustituyendo AQ por AC demostramos lo que queríamos.

jueves, 25 de diciembre de 2008

Capitulo 4 Triángulos

4.1 Propiedades de los triángulos isósceles

Para un triángulo cualquiera, tenemos las siguientes definiciones.
Definición. 4..1.1 La mediana es el segmento de recta trazado del punto medio de un lado al vértice opuesto.

La altura es el segmento de recta perpendicular a un lado o a su prolongación y va al vértice opuesto.
La bisectriz es la recta que sale de un vértice y divide al ángulo interior en dos partes iguales.
La mediatriz es la recta que pasa por el punto medio de un lado y es perpendicular a el.

Teorema 4.1.1 Si un triangulo tiene dos de sus lados iguales, entonces tiene dos ángulos iguales, los ángulos opuestos a dichos lados.
Demostración. Sea ABC un triangulo que tiene dos lados iguales AB= AC.

emostraremos Que Ð B = Ð C.
Sea M el punto medio del lado BC, tracemos la mediana MA. Afirmamos que ΔABM ≅ ΔACM. En efecto, tenemos que por hipótesis AB =AC y BM =MC por ser M punto medio de BC, además AM es el lado común para ambos triángulos. Por el criterio L.L.L., ΔABM ≅ ΔACM y por lo tanto tienen congruentes los ángulos. Así ÐB=Ð C.

Además podemos observar que, en el caso del teorema
1. El segmento AM es mediana.
2. El segmento AM es mediatriz pues M es el punto medio de BC y además como Ð4 + Ð5 = 180º y Ð4= Ð5 entonces Ð4= Ð5=90º.
3. El segmento AM es altura, puesto que vimos que Ð4=Ð5=90º y además AM toca el vértice A.
4. El segmento AM es la bisectriz ya que divide al ángulo ÐA en dos ángulos iguales, pues podemos ver que A =Ð1 + Ð2 y Ð1=Ð2.
Corolario 4.1.2 Todo triangulo equilátero tiene sus ángulos interiores iguales.
Ejercicio 4.1.1 Si un triangulo tiene dos de sus ángulos iguales , entonces tiene dos de sus lados iguales, los lados opuestos a dichos ángulos.
Solución. Consideremos el triangulo ABC, en donde ÐABC = ÐACB. Demostraremos que AB= AC. Tracemos la altura desde el vértice A y llamemos D a su pie en el segmento BC.

De esta manera ÐADB= 90º = ÐADC Después, por el criterio A.A. podemos garantizar que los triangulos ΔADB y ΔADC son semejantes. Y como tales triángulos comparten el lado AD, la razón de semejanza es uno, en otras palabras los triángulos son congruentes se sigue que
AB= AC.


Una consecuencia inmediata de este ejercicio es que un triangulo con todos sus ángulos interiores iguales es equilátero.
Teorema 4.1.3 Si en un triangulo una misma recta hace a la vez dos de las funciones de
1 mediatriz,
2 bisectriz,
3 altura,
4 mediana,
relativas a un mismo lado, entonces hace las otras dos funciones y el triangulo es isósceles siendo su base dicho lado.

Demostración . Tenemos seis casos posibles.
Caso1.
Consideremos un triangulo ΔABC tal que la recta AD es una que tiene las funciones de mediatriz y bisectriz.

Por ser AD mediatriz, D es el punto medio de BC y AD es perpendicular a BC; además por ser AD bisectriz, ÐBAD= ÐDAC.
De esta manera, tenemos que
1.Como AD y BC son perpendiculares y AD toca A, entonces AD es altura.
2.Ya que D es el punto medio de BC y AD toca A, entonces AD es mediana.
3.Por criterio L.A.L. BDA ≅ ADC , pues BD = DC, ÐBDA =90º = ÐADC y AD es común a los dos triángulos. Por lo tanto ÐB=ÐC y BA =AC. De donde tenemos que ΔABC es isósceles.
Caso 2.
Supongamos que la recta AD es mediatriz y altura del triangulo ΔABC.

Como AD es mediatriz de ABC entonces D es el punto medio BC. Por otro lado AD es perpendicular a BC, y como además AD el altura, tal segmento toca a A.
Por lo tanto
1.D es punto medio de BC y AD toa a A, de donde DA es mediana.
2.Por el criterio L.A.L., como BD=DC, ÐBDA= ÐADC y AD=AD , entonces ΔADB ≅ ΔADC. Por lo tanto ÐBAD= ÐDAC, de donde AD es bisectriz.
3.Como ΔADB ≅ ΔADC entonces BA= AC y ÐB=ÐC. Se sigue que ΔABC es Isósceles.
Caso 3.
Supongamos que AD es mediatriz y mediana del triangulo ΔABC.

Por un lado, como AD es mediatriz entonces D es el punto medio de BC y además AD es perpendicular a BC. Por otro lado, al ser AD mediana, tenemos de nuevo que D es el punto medio de BC, pero además sabemos que AD toca a A.
De esta manera tenemos lo siguiente
1.Como AD es perpendicular a BC y AD toca a A entonces AD es altura.
Por el criterio L.A.L ΔABD ≅ ΔADC, lo que implica que ÐBAD= ÐDAC. Luego AD es bisectriz.
3.Como ΔABD ≅ ΔADC entonces ΔABC es isósceles.

Se dejan como ejercicio las demostraciones de los otro tres casos.

3.2 Problemas

1.Sea ABCD un paralelogramo en el que L y M son los puntos medios de AB y CD, respectivamente. Demostrar que los segmentos LC y AM dividen a la diagonal BD en tres segmentos iguales.
2.- Dado un paralelogramo ABCD y M la intersección de sus diagonales, encontrar una línea que pase por M y divida al paralelogramo en dos piezas con la que se pueda armar un rombo.
3.- Dos triángulos isósceles se unen como se muestra en la siguiente figura.

Probar que los puntos medios de los lados del cuadrilátero ABCD que se forma, son los vértices de un cuadrado.
4.-Considerar un pentágono convexo arbitrario, en donde los lados se numeran sucesivamente en el sentido de las manecillas del reloj. Trazar el segmento que une los puntos medios de los lados 1 y 3; luego trazar el segmento que une los puntos medios de los lados 2 y 4; y por ultimo, trazar el segmento que une los puntos medios de esos dos segmentos trazados.
Si la longitud del lado 5 es de k unidades, encontrar la longitud del ultimo segmento que se trazo.

Capítulo 3 Paralelogramos

3.1 Propiedades de los paralelogramos
En el plano tenemos distintas clases de cuadriláteros, según la posición de sus vértices y aristas, como por ejemplo los siguientes.




Algunos cuadriláteros convexos tienen propiedades muy particulares. En este capitulo estudiaremos el caso del cuadrilátero llamado paralelogramo.
Definición 3.1.1 Un paralelogramo es un cuadrilátero necesariamente plano en el que cada lado es paralelo a su opuesto.
Los paralelos tienen varias propiedades entre ellas las siguientes:
Teorema 3.1.1 Todo paralelogramo tiene iguales sus lados opuestos.


Demostración. Supongamos que tenemos un paralelogramo ABCD en donde AB y BC son paralelos a CD y AD, respectivamente.


Tracemos la diagonal AC obteniendo dos triángulos, a saber ΔABC y ΔACD. Como BC es paralelo a AD entonces Ð1= Ð2 .Por otra parte, ya que AB y CD son paralelos, Ð3= Ð4 .Y como además AC =AC, entonces por el criterio A.L.A. tenemos ΔABC ≅ ΔACD.
Finalmente podemos concluir que AB=CD y AD =CB.

Teorema 3.1.2 Todo paralelogramo tiene ángulos opuestos iguales.Demostración. Supongamos que tenemos un paralelogramo ABCD en donde AB y BC son paralelos a CD y AD, respectivamente. Tracemos el segmento AC.

Como BC es paralelo a AD entonces Ð1 = Ð4. De manera semejante, como AB es paralelo a DC se sigue que Ð2 = Ð3. Podemos observar entonces que
ÐA = Ð1 + Ð3 = Ð4+Ð 2 = ÐC,
Y por lo tanto ÐA = ÐC .
De manera análoga podemos demostrar que Ð B = ÐD.
Teorema 3.1.3 Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.Demostración. Supongamos que tenemos un paralelogramo ABCD en donde AB y BC son paralelos a CD y AD, respectivamente.
Tracemos la diagonal AC.
Por hipótesis tenemos que AB es paralelo a DC, por lo que se sigue que Ð2 = Ð3 .Observemos además que Ð3+ Ð4 + ÐB =180º.
Por lo tanto
ÐC= Ð2+ Ð4 = Ð3+ Ð4 = 180º - ÐB.
Por consiguiente los ángulos C y B son suplementarios. De manera semejante, podemos probar que ÐA y ÐB, ÐA y ÐD, ÐD y ÐC son parejas de ángulos suplementarios entre si.

Teorema 3.1.4 En todo paralelogramo las diagonales se dividen mutuamente en partes iguales.
Demostración. Supongamos que tenemos un paralelogramo ABCD en donde AB y BC son paralelos a CD y AD respectivamente. Tracemos las diagonales AC y BD.
Como BC es paralelo a AD entonces Ð1= Ð2 y Ð3= Ð4 . Y por el teorema 3.1.1 tenemos que AD = BC.

Ahora, por el criterio A.L.A. tenemos que ΔADE ≅ ΔCBE. De aquí DE= BE y AE=EC.
Teorema 3.1.5 Si un cuadrilátero convexo tiene dos lados iguales y paralelos entonces el es un paralelogramo.
Demostración. Supongamos que tenemos un cuadrilátero convexo ABCD, en donde AD es paralelo a BC y AD= BC.
Tenemos que demostrar que DC es paralelo a AB, para esto tracemos la diagonal DB. Como BC es paralelo a AD entonces Ð1= Ð2 .Así como BC= AD, Ð1 = Ð2 y DB = DB, por el criterio L.A.L obtenemos que ΔADB ≅ ΔCDB. De esta manera Ð3 = Ð4 .
Y como los ángulos Ð3 y Ð4 son alternos internos iguales con respecto al sistema de rectas DC y AB cortadas por la secante DB, concluimos que DC es paralelo a AB.

Teorema 3.1.6 Si en un cuadrilátero convexo cada par de lados opuestos son congruentes (o iguales)entonces el es un paralelogramo.

Demostración. Supongamos que tenemos un cuadrilátero ABCD en el cual AD =BC, y DC=AB.

Tenemos que demostrar que AD es paralelo a BC y que DC es paralelo a AB. Si trazamos AC generamos el par de triángulos ΔADC y ΔABC en donde AD=BC, DC=AB, Y AC= AC.

Ahora por el criterio L.L.L podemos ver que ΔADC ≅ ΔABC. Luego Ð1 =Ð4 y Ð2=Ð3.

Por un lado, como Ð1 y Ð4 son ángulos alternos internos iguales con respecto al sistema AD y BC, entonces AD y BC son paralelos.

Por otro lado, como Ð2 y Ð3 son ángulos alternos internos iguales con especto al sistema DC y AB, entonces DC es paralelo a AB. Concluimos así que ABCD es un paralelogramo.
Ejercicio 3.1.1 Sea ABCD un cuadrilátero y sean E, F ,G y H los puntos medios de los lados AD, AB ,BC y CD respectivamente.


Tenemos que demostrar que EFGH es un paralelogramo.
Por la proposición (2.2.1), podemos ver que
EH= ½AC y EH ║ AC.
FG = ½AC y FG ║ AC.
De esta manera EH = FG y EH es paralelo a FG. Así, por las propiedades vistas anteriormente, EFGH es un paralelogramo.

jueves, 4 de diciembre de 2008

2.4 Problemas

1.Sea ΔABC un triangulo rectángulo en donde ÐBAC=90º. Trazarla altura que pasa por A. Probar que la altura divide a ΔABC en dos triángulos semejantes al triángulo original.

2.-Demostrar el teorema de Pitágoras utilizando semejanza de triángulos.

3.Sea ΔABC un triángulo n donde AC= 3 y AB=2. considerar una semirrecta con origen en B que corta a AC en D, de tal forma que los ángulos ÐABD y ÐACB. Encontrar el valor de AD.

4.Sea ABCD un cuadrado. Por el vértice A se traza una línea que intercepta a la extensión del lado BC en E, al lado DC en F y a la diagonal BD en G. Si AG=3 y GF=1, encontrar la longitud de FE.

5.Si uno de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo es el doble del otro,demostrar que la hipotenusa es igual al doble del cateto màs corto.

6.Considerar un triángulo isósceles ΔOAB, con base AB. Denotar por H al punto medio de AB y por M y N dos puntos sobre AO y BO respectivamente tales que 4AM∙ BN= AB2. Probar que los triángulos ΔAHM, Δ BNH y HMN son semejantes.

7.En la figura los segmentos AB, A1B1, A2B2, A3B3, son paralelos. Si BB1 = B1B2 = B2B 3= B3C = AB = 2, encontrar el valor de la suma AB + A1B 1+ A2B2 + A3B3.
8.Considerar un triangulo ΔABC y D el punto medio e BC. Si una línea paralela a AD corta a AE en P, a AC en Q y a la línea paralela a BC, que pasa por A, en M. Probar que M es el punto medio de PQ.
9.Si el área del rectángulo ABCD es igual a 1 Y M es el unto medio del lado AB, determinar el área que tiene el triángulo sombreado ΔMCE.
10.-Sea R el área de la región encerrada por tres semicírculos tangentes entre si en sus extremos. Demostrar que R es igual al área del circulo que tiene como diámetro el segmento BD, perpendicular al diámetro CA en el punto de tangencia D.

miércoles, 3 de diciembre de 2008

2.3 Teorema de Tales

Teorema 2.3.1 (Teorema de Tales) Si tres o más paralelas son cortadas por cualesquiera dos trasversales, entonces los respectivos segmentos que las paralelas determinan en estas ultimas rectas son proporcionales.

Si consideramos las rectas l1,l2 y l3 paralelas y suponemos que las transversales t1 y t2 cortan a aquellas en los puntos A,B,C y A’,B’,C’ respectivamente, el teorema de tales nos garantiza que

Y también que


lunes, 1 de diciembre de 2008

2.2 Semejanza de triángulos

Definición 2.2.1 Dos triángulos Δ A1B1C1 y Δ A2B2C2 son semejantes si y solo su cumplen lo siguiente

1.- ÐA1 =ÐA2
2.- ÐB1 =ÐB2
3.- ÐC1 =ÐC2




Es decir, dos triángulos son semejantes si y solo si tienen sus tres ángulos iguales y sus tres lados proporcionales , para indicar que los triángulos ΔA1B1C1 y ΔA2B2C2 son proporcionales lo haremos de la siguiente manera: ΔA1B1C1 ~ ΔA2B2C2
2.2.1 Criterios de semejanza
Para que ΔA1B1C1 ~ ΔA2B2C2 es suficiente que se cumpla una de las tres condiciones siguientes:
1.- L.A.L) Dos lados proporcional e igual el ángulo comprendido

, ÐB1= ÐB2





2.- A.A) Dos ángulos iguales


ÐA1=Ð A2 , ÐB1=ÐB2

3.- L.L.L) Sus tres lados proporcionales



Proposición 2.2.1 El segmento que une los puntos medios de cualesquiera dos lados de un triángulo arbitrario mide la mitad del tercer lado y es paralelo a dicho lado.

Demostración. Sea ABC un triángulo cualquiera con D y E puntos medios de AC y BC respectivamente.

Tenemos que demostrar que DE= ½ AB.

Como ÐACB= ÐDCE y CD ∕ CA = ½ = CE∕ CB, entonces por el criterio L.A.L. ΔABC ~ ΔDEC.

Por lo tanto sus lados son proporcionales y así

Damas los ángulos correspondientes son iguales, por lo que tenemos

ÐCDE = ÐCAB
De donde DE y AB son paralelos.

Ejercicio 2.2.1 El triangulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de cualquier triángulo, es siempre semejante a éste.

Soluciòn. Sean ΔABC un triángulo cualquiera y D,E,F puntos medios de AC,AB y BC respectivamente.
Tenemos que demostrar que ΔABC ~ ΔDEF. Para esto veamos que la proposición 2.2.1 nos dice que DF= ½ AB, DE= ½CB y EF= ½ AC.
Por lo tanto DF∕AB = DE∕CB = EF∕AC= 1∕2 y por el criterio de L.L.L concluimos que ΔABC ~ ΔDEF.

Ejercicio 2.2.2 Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo divide a los otros dos triángulos en partes proporcionales.

Ejercicio 2.2.3 Si una recta divide dos lados de un triangulo en partes proporcionales, entonces tal recta es paralela al tercer lado.