jueves, 1 de enero de 2009

Teorema 4.2.5 Las tres mediatrices de cualquier triangulo se intersectan en un mismo punto.

Teorema 4.2.5 Las tres mediatrices de cualquier triangulo se intersectan en un mismo punto.
Demostración. Sea Δ ABC un triangulo cualquiera. Tomemos las mediatrices m y l correspondientes a los lados AB y AC respectivamente.
Llamémosle P al punto de intersección de m y l. Falta ver que la tercer mediatriz pasa también por P.
Como P∈ m entonces PA=PB con m mediatriz de AB. Y también como P ∈l, entonces PA= PC con l mediatriz de AC.
Por lo tanto PB= PC. Así el teorema (4.2.4) implica que por el punto P pasa la mediatriz del segmento BC.
Otra manera de ver que P está en la mediatriz de BC es observar que BPC es isósceles con base BC, así P debe estar en la mediatriz de la base.
Notemos que en la demostración del teorema anterior tenemos que PB = PA = PC, así por A ,B y C pasa una única circunferencia con centro en P y radio PA = PB= PC. Es decir, por tres puntos que no estén situados e una misma recta pasa una única circunferencia, a dichos puntos se les llama concíclicos.
Habiendo demostrado los resultados anteriores, tiene sentido ahora establecer las siguientes definiciones.
Definición 4.2.1Al punto de intersección de las tres medianas de un triangulo le llamaremos baricentro. Este punto también es llamado gravicentro, centroide y centro de gravedad.
El punto en donde concurren las tres alturas de un triangulo le llamaremos ortocentro. Al punto en donde concurren las tres bisectrices de un triangulo le llamaremos incentro, que es el centro del circulo tangente interiormente a cada uno de los lados del triangulo.
El punto en donde se intercectan las mediatrices de un triangulo le llamaremos circuncentro, que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triangulo.

1 comentario:

Dania dijo...

Hola, que tal!

Muy buena información la que se encuentra aquí, sólo que una duda surge en mi cabeza: He estado tratando de demostrar que el baricentro es, en efecto, el centro de gravedad de cualquier triángulo, tengo la idea de demostrar igualdad en las áreas de los triángulos formados si se trazacen rectas del baricentro a los vértices, pero me intriga que ustedes lo manejen como Definición, cuando se podría tomar como Teorema.

Saludos!!