La historia de las matemáticas.-Los babilonios

I. Los babilonios

Hasta el primer tercio de este siglo, los conocimientos que se poseían acerca de la matemática de los pueblos que habitaron la Mesopotamia: sumerios, acadios, babilonios, asirios… eran escasos y no revelaban mayor contenido científico.
Sin duda, ya había advertido la característica fundamental, entonces más bien sorprendente, que ofrecían los sistemas de numeración utilizados en los textos cuneiformes. En efecto, hacia el año 3.000 a. C. los sumerios introdujeron un sistema de numeración posicional de base 60, que en definitiva es el sistema sexagesimal que aun utilizamos nosotros para las medidas de tiempo y angulares.
En ese sistema las cifras de 1 a 59 se escribían de acuerdo con un arcaico sistema decimal aditivo, sobre la base de dos signos cuneiformes: uno vertical para la unidad y otro horizontal para el 10. Pero a partir de 60 y para las fracciones el sistema se torna posicional, las potencias sucesivas de 60, en orden creciente o decreciente, se representan por la unidad y cada conjunto numérico hasta 59 debe computarse 60 veces menor que el anterior.
La inexistencia de un signo para el cero, que no aparecerá hasta los tiempos helenísticos, así como de un signo que separe la parte entera de la fraccionaria, hace que el sistema no sea coherente para nosotros, aunque el contexto del problema, y a veces ocasionalmente ciertos signos especiales, impedían al calculista sumerio caer en equívocos.
Ya desde comienzos del siglo pasado (1906) se había revelado el carácter posicional del sistema sumerio al descifrarse textos cuneiformes con tablas de multiplicación, de recíprocos, de cuadrados…. Y algunos cálculos; pero fue recientemente con la labor de desciframiento que hicieron conocer Neugebauer (1935) y Thureau Dangin (1938) que esta matemática sexagesimal muestra su verdadera faz.
Los textos últimamente descifrados pertenecen al periodo babilónico (II milenio a. C.) aunque registran conocimientos de los sumerios del milenio anterior; la índole y la solución de las colecciones de problemas que aportan esos textos no solo justifican la necesidad de un sistema de numeración flexible como el posicional, sin el cual aquella solución hubiera sido imposible, sino que arrojan nueva luz sobre relaciones  entre matemática prehelénica y la matemática griega antigua, de manera que actualmente nociones y figuras de la matemática antigua adquieren nuevas interpretaciones en la historia de la matemática.
Aunque en algún caso se ha querido ver la expresión de reglas generales, los problemas de los textos babilónicos son problemas numéricos particulares, con datos escogidos al efecto, en especial para que los divisores no contengan sino factores 2, 3, y 4; en muchos casos no tienen otra finalidad que el cálculo numérico, en otros se trata de aplicaciones de distinta índole.
Desde el punto de vista matemático, las novedades más importantes que registran los textos babilónicos se refieren a la solución algebraica de ecuaciones lineales y cuadráticas, y el conocimiento del llamado “teorema de Pitágoras” y de sus consecuencias numéricas.
En los problemas de primer grado con una incógnita las tablas de multiplicación o de recíprocos ofrecen de inmediato la solución; en los sistemas lineales, en cambio, a veces con varias incógnitas, ya entra en juego la habilidad algebraica del calculista. (I)
Tal habilidad se pone de relieve más claramente en los problemas, a veces agrupados en colecciones, que exigen la resolución de ecuaciones cuadráticas o reducibles a cuadráticas; resolución que el calculista babilónico lleva a cabo utilizando la actual resolvente, a veces mediante el recurso de reducir el problema a la determinación de dos números de los cuales se conoce el producto y la suma (o la diferencia). (2)
Otros problemas, de interés aritmético o algebraico, traen la suma de términos en progresión geométrica de base 1; la suma de los cuadrados de los diez primeros números mediante una expresión correcta y hasta una ecuación exponencial resuelta en forma aproximada. (3)
Los problemas que se refieren a aplicaciones geométricas revelan el conocimiento de la proporcionalidad entre los lados de triángulos semejantes, de las áreas de triángulos y trapecios así como de volúmenes de prismas y cilindros; en cambio, para la longitud de la circunferencia y el área del circulo se adoptan los valores poco aproximados de dar para la circunferencia el valor de tres diámetros (valores que se conservan en la Biblia) y para el circulo el triple del cuadrado del radio. También son erróneas las expresiones del volumen del tronco de cono y de la pirámide de base cuadrada y del cono.
Pero, sin duda, el conocimiento geométrico más interesante que revelan las tablillas es el del llamado “teorema de Pitágoras”, y en especial, como consecuencia, la ley de formación de los “tripletes pitagóricos”, es decir, de las ternas de números enteros, que a la par de representar medidas de los lados de triángulos rectángulos, expresan la posibilidad aritmética de descomponer un numero cuadrado en suma de dos cuadrados.
El conocimiento del “teorema de Pitágoras”, un milenio largo antes de la existencia de su pretendido autor, se pone de manifiesto en distintos problemas cuya solución correcta no podía lograrse sin ese teorema (4) y, en especial, mediante un texto: el Plimton 322 (del nombre de la colección que se conserva en la Columbia University) que se hizo conocer en 1945 y que presupone el conocimiento de la ley de formación de los “tripletes pitagóricos”, que aparecerá por primera vez en Occidente en los Elementos de Euclides hacia el 300 a. C. (5)
No es esta la única conexión entre los datos que aportan las tablillas de los babilonios y la clásica matemática griega. Desde el punto de vista técnico, es más importante señalar la   atmósfera común de álgebra no lineal, de álgebra cuadrática, que preside ambos campos; atmósfera que en las tablillas de los babilonios se revela en las ecuaciones algebraicas, y en los Elementos en toda la obra, en especial el Libro II, que el historiados de la matemática Zeuthem bautizo proféticamente de “algebra geométrica” hace casi 90 años, cuando ni por asomo podía pensarse en la vinculación que hoy se vislumbra entre geometría griega y la milenaria “algebra de los babilonios”.
Es posible que mediante esta “algebra geométrica” podamos hacer alguna conjetura acerca del origen de los conocimientos de los babilonios. Sean dos números a y b representados por los segmentos AB y AD (fig. 1), respectivamente; si a continuación de AB se lleva BC = AD los segmentos AC y DB serán, respectivamente, a + b y a – b. Introduciendo el centro O de simetría de la figura, resulta fácilmente AO = OC = ½ (a + b) Y DO = OB = ½ (a - b) y, por tanto , de AB = AO + OB y AD = AO – OD se desprenden las relaciones entre dos números, su semisuma y su semidiferencia, que los babilonios utilizaron en sus problemas.

Supongamos ahora que en pos de conjeturas “elevamos al cuadrado” la figura y obtenemos el cuadrado de lado AC descompuesto en cuadrados y rectángulos, Así:


(a + b) ² = AE; (a - b) ² = FG; ab = LI = IM = MD = DL, y distintas composiciones de esas figuras llevan a la identidades:
                                    (a + b) ² = a² + b² + 2ab; (a - b) ² + 2ab = a² + b² ;
                                                    
                                                        (a + b) (a - b) = a² – b² ;
                                                    
                                                        (a + b) ² – (a – b) ² = 4ab
                                                       
                                                                          ó
                                                  [ ½ (a + b)] ²  – [ ½ (a - b)] ²  = ab
que los babilonios utilizaron en la resolución de su ocupaciones cuadráticas.
Hagamos un paso más y traemos las diagonales LI, IM, MD, DL de los rectángulos que bordean la figura que no serán sino las hipotenusa c de los triángulos rectángulos de catetos a y b, y por tanto el cuadrado construido sobre esa hipotenusa c de los triángulos rectángulos de catetos a y b, y por tanto el cuadrado LM =  DI es el cuadrado construido sobre esa hipotenusa. De la figura se deduce una propiedad geométrica que los babilonios parece que no utilizaron, como lo hará en cambio más tarde Diofanto; esa propiedad dice  que si al cuadrado  de la hipotenusa se le suma o se le resta cuatro veces el triangulo se obtiene, en ambos casos, un cuadrado, o en símbolos  c² ± 2ab = (a ± b) ², propiedad que implícitamente contiene el llamado “teorema de Pitágoras”, aunque el teorema puede obtenerse directamente utilizando una de sus numerosas “demostraciones” por descomposición de figuras; así por ejemplo, una demostración muy simple, que aparecerá en escritos árabes del s. IX, consiste en suprimir del cuadrado DI los triángulos LGI e IHM, desplazándolos, respectivamente a DCM y LAD; el cuadrado DI se convierte en la figura equivalente LGHMCAL, suma de los cuadrados AG y BM de los catetos.
Como curiosidad agregamos que el matemático Hamilton del siglo pasado al reproducir esa demostración sombreo en la figura LIMCAL esos cuatro triángulos, inscribieron en el pentágono cóncavo LGHMDL una leyenda que parafraseamos: “Como se ve, soy  a² +b²- ab ;  si me adoso los dos triángulos compongo el cuadrado de la hipotenusa, si me sustento sobre los dos triángulos, compongo la suma de los cuadrados de los catetos”.
Una última conjetura nos llevaría a los tripletes pitagóricos. De la propiedad (a +  b) ² = (a - b) ² + 4ab se puede llegar a la descomposición de un cuadrado en suma de dos cuadrados, es decir, a la ecuación pitagórica (¿o habría que llamarla seudopitagórica?) x² + y² = z², sin más que tomar para a y b números cuadrados m² y n² , llegándole a las expresiones x = m² - n², y = 2mn, z = m² + n², con las cuales se ha construido la tabla del Plimpton 322.
Conjeturas de otra índole merecería las consideraciones acerca de la finalidad que persiguen sumerios y babilonios con su sorprendente algebra. Sin duda en sus albores la matemática nació bajo los signos que Spranger señalo al calificarla de “semijuegos y semirreligiosidad”, pero en el algebra de los babilonios la atmosfera técnica que envuelve a sus problemas revela también aspectos más positivos, menos místicos. Una hipótesis verosímil, que la índole de los problemas corroborara fija a los textos matemáticos de  los babilonios una finalidad formativa: su estudio y práctica serian considerados indispensables en el aprendizaje y adiestramiento de escribas y funcionarios de pueblos de un avanzado desarrollo comercial.

                                    Notas complementarias
(1) Un problema de primer grado. He aquí un ejemplo del tipo de problema de mezclas en el que además se utilizan unidades de medidas agrarias de la época. Se conoce la extensión total (1.800) de un campo compuesto de dos parcelas, en cada una de las cuales el rendimiento del grano por unidad de área está afectado por coeficientes diferentes (2/3 y 1/2). Se desea saber la extensión de cada parcela conociendo la diferencia (500) del producido de la cosecha. De acuerdo con nuestros símbolos el problema exige la resolución del sistema de dos incógnitas:

                                                 x + y = 1800 ;  ⅔  x – ½  y = 500
                                 
                                               de solución     x = 1200 ; y = 600

Aunque la marcha que sigue el calculista no es clara y aparentemente presupone un método de falsa posición, en realidad los cálculos encierran un proceso correcto en el cual implícitamente se hace intervenir al lado de la suma conocida de las incógnitas, su diferencia desconocida x – y = 2_z.
En efecto_, el calculista  comienza admitiendo que las dos parcelas son guales (a la semisuma 900) y con esa hipótesis falsa llega al valor erróneo de la diferencia de producido: 150 (es decir ⅙ = ⅔ - ½ de 900). Para compensar el error de 350 = 500 – 150 reconoce, sin decirlo, que ese error es los ⁷⁄₆ (suma de ⅔ y ½) del valor que, sumado y restado al dato inicial erróneo, dará la extensión de las parcelas. Para obtener aquel valor deberá dividir 350 por ⁷⁄₆, operación que, por la presencia del factor 7, las tablas no facilitan; el calculista obvia la cuestión preguntándose simplemente por cuanto debe multiplicar ⁷⁄₆ para obtener 350: su respuesta es obvia: 300, y este dato sumado y restado a 900, da los valores de las incógnitas. Es fácil ver que, aun con un lenguaje de valores erróneos, la marcha del proceso es la que hoy se seguiría si se introducen los valores x = 900 + _z ;
y = 900 – _z , y se calcula _z de acuerdo con la segunda ecuación.

(2) Un problema de segundo grado. He aquí el enunciado de un ejemplo típico tomado de una tablilla de los babilonios: “Largo y ancho. He multiplicado largo y ancho y he obtenido el área. He agregado al área el exceso del largo sobre el ancho: 183, además he sumado largo y ancho: 27. Se pide largo, ancho y área”. Este problema, al sumar áreas y longitudes absurdo desde el punto de vista práctico, revela claramente que su interés es exclusivamente técnico o numérico. Con nuestros símbolos el problema lleva al sistema de segundo grado: xy + x = 183: x + y = 27, y aunque pueda parecer anacrónico conviene seguir con nuestros símbolos la marcha de los cálculos que señala la tablilla., para poner de manifiesto su carácter algebraico. El calculista comienza por sumar los dos datos numéricos 183 + 27 = 210; [x(y + 2) = 210] y agrega 2; (x + y + 2 = 29). Lo que sigue es el método actual de nuestra resolvente para obtener los valores de dos números (en este caso x e y +2), conociendo su suma 29 y su producto 210.
En efecto, toma la mitad de 29: 14 ½ de cuyo cuadrado resta 210, obteniendo ⅟₄, cuya raíz cuadrada ½ suma y resta a 14 ½ obteniendo los valores 15 y 14 de este ultimo resta 2, llegando a la solución del problema: 15, 12, 180.
Por supuesto que el calculista no advirtió la existencia de una segunda solución x = 13; y = 14, por cuanto estos problemas, por su probable carácter didáctico son problemas artificiales con soluciones preparadas de antemano y son estas solucione las que se buscan y no otras.
(3) Un problema de interés compuesto. Se trata del clásico problema de la determinación del tiempo en que se duplica un capital, a una determinada tasa de interés compuesto. En el caso de la tablilla esa tasa es del 20%, dato que a la par que puede interesar a la historia económica de esos pueblos, facilita bastante la soluciona aritmética. El problema es trascedente y exige la solución de la ecuación exponencial 1,2^x = 2, para lo cual el calculista después de comprobar que x está entre 3 y 4 y más próximo a 4 que a 3,  determina el incremento 4 – x mediante la proporcionalidad de los incrementos ofreciendo quizás el primer ejemplo de la aplicación del mas arde llamado “método de falsa posición”, De acuerdo con esa hipótesis, aquel incremento esta dado por el cociente

                                                       (1,2⁴ - 2) : (1,2⁴ – 1,2³)

que da el tiempo de doble capitalización con un error por defecto inferior a seis días.

(4) El teorema de Pitágoras. Varios problemas de las tablillas son variantes de un problema frecuente en el folklore matemático: el problema de la caña, cuya solución exige el conocimiento del teorema de Pitágoras.
Veamos un caso simple: una caña que se apoya en una pared de igual altura que ella se desliza sin caer. Calcular su altura x conociendo el deslizamiento a de su tope y la distancia b en que se ha apartado el pie de la caña respecto de la pared. Este problema, que equivale a la determinación del radio de un circulo del cual se conoce una semicuerda y la flecha respectiva, exige la aplicación del teorema de Pitágoras que da por solución x = = ½ (a²  + b²): a; y son estos cálculos, efectivamente, los que efectúa el calculista babilonio partiendo de a = 3; b = 9, obteniendo x = 15.

(5) El texto “Plimtom 322”. (Se reproduce a continuación del texto de la tablilla en signos modernos, tomada de O. Neugebauer. The exact Sciences in Antiquity, Nueva York, Dover, 1969, pág. 37) Se trata de la parte derecha de una tablilla mutilada que comprende cuatro columnas; la primera, a partir de la derecha, no contiene sino los números 1 a 15 para ordenar las filas; la segunda y tercera, encabezadas respectivamente con las palabras “diagonal” (d) y “ancho” (b), contienen números enteros aparentemente sin orden alguno, mientras que la cuarta columna, encabezada por un término ininteligible, contiene expresiones fraccionarias, a veces hasta con siete fracciones sexagesimales. Descifradas la tablilla, el resultado fue que las columnas (d) y (b) comprenden los componentes de tripletes


            I                                                    II(= b)                         III(= d)                        IV 
    
         [ 1,59,0 ]15                                    1,59                             2,49                            1
         [ 1,56,56,]58,14,50,6,15              56,7                            3,12,1                         2
         [ 1,55,7, ]41,15,33,45                  1,16,41                       1,50,49                       3
         [ 1,]5[ 3, 1]0,29,32,52,16            3,31,49                        5,9,1                           4
         [ 1,]48,54,1,40                              1,5                                1,37                             5
         [ 1,]47,6,41,40                              5,19                              8,1                               6
         [ 1,]43,11,56,28,26,40                 38,11                            59,1                            7
         [ 1,]41,33,59,3,45                         13,19                            20,49                          8
         [ 1,]38,33,36,36                             9,1                                12,49                          9
         1,3510,2,28,27,24,26,40             1,22,41                         2,16,1                       10
         1,33,45                                           45                                  1,15                           11
         1,29,21,54,1,15                             27,59                            48,49                         12
         [ 1,]27,0,3,45                                 7,12,1                           4,49                           13
         1,25,48,51,35,6,40                        29,31                            53,49                         14
         [ 1,]23,13,46,40                             56                                  53                               15


pitagóricos correspondientes a la hipotenusa y a un cateto, es decir, d = m²  +  n² y  b = m² – n², y cuyo otro cateto b = 2mn, del cual sus valores, que figurarían probamente en la parte que falta, deben cumplir la condición de no contener sino divisores de 2, 3, 5, circunstancia que explicaría el aparente desorden de las columnas d y b, pues la cuarta columna contiene los valores numéricos de (d/a)² , es decir, con nuestro léxico los valores de a decrecen bastante uniformemente entre 45° y 31°, lo que hace suponer que otras tablillas contendrían los valores correspondientes a los otros sectores de 15°.
Por ejemplo, en la fila sexta los valores de las tres columnas son en el sistema sexagesimal.

                                              d = 8.1; b = 5.19; (d/a)² = 1.47.6.41.40

Es fácil ver que en este caso m = 20, n = 9; d = 481; b = 319 resultando a = 360, que no figura, pero que cumple con la condición de no contener sino factores 2, 3, 5 y que (d/a)² = (481/360) expresando en el sistema sexagesimal es precisamente el valor que aparece en la cuarta columna. Para estos valores a es aproximadamente 40°

Historia de las Matemáticas / La Matemática Empírica

I. La prehistoria

La expresión: el mundo esta impregnado de matemática, convertida en lugar común en una era tecnológica como la actual, es una expresión válida para todas las épocas humanas, tan consustanciados  están el contar y el comparar con las especificas actividades del hombre: pensar, hablar  y  fabricar instrumentos.
En la mente y en la acción del hombre prehistórico no están ausentes los números más simples, las formas más elementales y la ordenación más visible de las cosas. En el hombre que da nombre a las cosas y a los actos; que conserva el fuego e imagina trampas a las cosas y a los actos; que conserva el fuego e imagina trampas para cazar animales; que construye viviendas y tumbas;  que observa el movimiento de los astros y destaca direcciones especiales; que computa distancias con su cuerpo y sus pasos; que graba escenas de un impresionante realismo; en ese hombre y en esas actividades están  prefigurados los conceptos básicos de la matemática: numero, medida, orden.

Al pasar de la etapa paleolítica a la neolítica el proceso se afín: las nuevas técnicas agrícolas y pastoriles, al cerámica y la carpintería: la industria textil; la minería y la metalurgia, el trueque de bienes y objetos, la navegación y el transporte, las normas que rigen la naciente organización familiar, social y económica exigen una precisión cada vez  mayor en el contar, en el medir y en el ordenar. El hallazgo del proceso deductivo y de la relación causa-efecto y los inagotables recursos de la imaginación humana harán el resto.
Y cuando asoma la escritura, como subproducto de la cultura urbana, ese saber matemático, aun vago y nebuloso, comienza a adquirir consistencia.
Una hipótesis verosímil acerca del origen de la escritura vincula este rigen con practicas aritméticas. En efecto, según tal hipótesis, la escritura nace a mediados del lV milenio antes de Cristo en la Baja Mesopotamia, en el seno de la cultura urbana de los sumerios, cuyas ciudades estaban construidas alrededor del templo, edificado sobre la colina artificial, como una torre escalonada, que no solo representaba la unidad espiritual de la comunidad, sino que encerraba además su riqueza económica. Los bienes del templo, acumulados en sus talleres y graneros, eran administrados por los sacerdotes, y es explicable que a medida que esos bienes aumentaban con el crecimiento de la población, se tornaba mas difícil retener de memoria las “cuentas del templo”, es decir, los datos relativos a los tributos que se debían al dios y la cantidad de semillas de ganado que se entregaba a los campesinos y pastores; de ahí la necesidad de fijar signos convencionales que permitieran retener esos datos sin confiar en la memoria individual. Que tal fuera el origen de los primeros signos grabados, lo comprobaría el hecho de que las tablillas pictográficas de Erech del 3.500 a. C., que son las más antiguas que se conocen, contienen signos que representan una cabeza de vaca, una espiga de trigo, un pez, acompañados de signos especiales que sin duda representan signos numéricos. Por lo demás, cabe recordar que entre los sumerios existía la costumbre de marcar con sellos individuales los objetos de propiedad personal, y que por ser el dios de la ciudad el único propietario de la tierra y todos sus frutos, los sellos que marcarían los bienes del templo adquirían un sentido más convencional y una mayor difusión.

                                             2. Letras y números
Esta notación numérica de las “cuentas del templo” pone de relieve ciertas conexiones entre escritura y los sistemas de numeración que pueden dan pábulo a la tentadora hipótesis de admitir que los sistemas escritos de numeración fueron anteriores a la escritura misma.
Observemos en primer lugar que todos los pueblos sin excepción, sean o no primitivos, tengan o no escritura, disponen de palabras, así como disponen de gestos y signos convencionales para indicar números o unidades.
Igualmente se encuentra en los pueblos primitivos una gran variedad de procedimientos de cómputos, que se presentan siempre como una relación cualitativa de un signo a la cosa significada y siempre también bajo el imperio de una imagen concreta. (l)
Tal presencia constante de lo concreto en la numeración primitiva se puede presentar bajo diversos aspectos. Así , un primitivo dirá que ha tomado tantos peces como dedos tiene la mano, y si designa este hecho con la palabra que deriva de la palabra “mano”, esa palabra no quiere significar el numero 5, sino solamente que los objetos en cuestión son tantos como los dedos de la mano. Por otra parte, el ejemplo abstracto no cabe en la mentalidad primitiva, Así, un indio norteamericano, a quien se trataba de familiarizar con el inglés, no pudo traducir: “ayer el hombre blanco mato seis osos”, pues ese hecho significaba una imposibilidad material.
En otros casos los números 1, 2, 3 se designan con vocablos diferentes según se refieran a personas, días, u objetos, y este último caso según sean ellos esféricos o alargados. Quizá pueda verse un residuo en nuestro léxico actual cuando al referirnos a zapatos decimos, “un par”, mientras que para los bueyes, por ejemplo decimos “una yunta”.
También se han facilitado los cálculos mediante el uso de objetos materiales, como hojas secas o piedrecillas, que actúan a la manera de unidades en la forma como aun se acostumbra para el puntaje en los juegos de naipes. Nuestra palabra “calculo” proviene del latín calculi (guijarros), y los ábacos para contar y sumar que se perfeccionaron en los tiempos históricos, hasta construir rudimentarias maquinas de calcular, no son sino dispositivos mecánicos fundados en el agrupamiento de objetos materiales.
En este campo como en tantos otros la variedad preside la actividad humana; así nativos de la isla Fidji indican el numero de víctimas logrado en la caza mediante entalladuras en sus mazas con la característica de que nueve entalladuras iguales, la siguiente es algo más larga, de ahí que con un sistema limitado de numeración hablada pueden llegar a contar números relativamente grandes. Por ejemplo, al observar cinco entalladuras largas y cuatro últimas cortas, el nativo tendrá el número 54 para el cual seguramente en su lenguaje no dispone de la palabra adecuada. Si este sistema de entalladuras se torna convencional, entre él y un sistema de numeración escrita de tipo decimal aditivo solo existiría una diferencia de grado, no esencial. (2)
Al pasar a los sistemas escritos de numeración, se advierte igual variedad; ya en la base, es decir en el numero simple que sirve de jalón para expresar los números mayores; ya en la lectura, que puede ser tipo aditivo, con variantes distintas, o posicional. En los sistemas aditivos el valor del numero se obtiene sumando (en ocasiones restando) los valores correspondientes a cada signo individual, independientemente de la posición del signo en el contexto; mientras que en los sistemas posicionales el valor de cada signo depende de la posición de este en el contexto. Por la base 10 y el tipo de lectura, nuestro sistema actual es decima y posicional.

En cuanto a la base de los sistemas escritos antiguos, que probablemente provienen de bases ya existentes en los sistemas orales, se advierte igual variedad: puede ser 2, como lo comprueba el hecho de que seguimos hablando de pares y yuntas, puede ser 3, 4 ó 5 aunque la base más difundida es 10, que ya Aristóteles justificaba en vista del numero de dedos de la mano. En el idioma francés actual quedan rastros de una base 20 de los celtas, base que fue adoptada también por pueblos primitivos descalzos;  nuestras docenas son también residuos de una base 12, utilizada ya por el número (aproximado) de lunaciones del año, ya por su comodidad en las medidas, en vista de la facilidad que ofrece el mayor número de sus divisores, frente por ejemplo a los de la base 10.
Casi todos los sistemas antiguos de escritura disponen de signos especiales para representar los números. Constituyen excepción el griego, el árabe, el hebreo y otros que utilizan para ese fin las letras del alfabeto respectivo. El caso griego tiene un interés especial, ya que se conocen dos sistemas de numeración escrita, ambos aditivos. Un sistema, cuyos signos se llaman herodiánicos (por Herodiano, gramático griego del siglo II que estudio y expuso estos signos), en el cual la unidad y las primeras cuatro potencias de 10 se indican con las iniciales de las palabras respectivas, agregándose un signo especial para el 5; y un segundo sistema en el cual los nueve dígitos, las nueve decenas y las nueve centenas se representan por las 24 letras del alfabeto arcaico para el 6, el 90 y el 900; y en el cual se indican con ápices y otros signos especiales las fracciones unitarias y los números superiores al millar. Por el empleo de las letras del alfabeto arcaico se supuso que el segundo sistema fuera anterior al primero, pero el hecho es que el primer sistema cayó en desuso hacia el s. IV a. C., quedando en vigencia el segundo.
Es interesante destacar que en algunos casos el sistema de numeración escrita presenta, frente a la escritura, cierta prelación si no cronológica, por lo menos en el sentido de la sencillez, y de la abstracción. Un ejemplo lo ofrecen las escrituras cretenses de las que se reconocen tres tipos: uno pictográfico y dos lineales A y B. Son todas del II milenio y la última de ellas: la línea B, que resulto pertenecer a un idioma griego arcaico, fue descifrada por Michel Ventris en 1952. De tal escritura ya se habían identificado no solo los signos numéricos pertenecientes a un sistema decimal aditivo, sino también algunas operaciones aritméticas simples: sumas y probamente cálculos de porcentajes, y sin duda tal desciframiento previo ayudo al posterior desciframiento de la escritura. (3)

Notas complementarias

(I) Los “números corporales “Es natural que el hombre para contar y hasta para sumar haya acudido a lo que tenía más cerca; su propio cuerpo en especial los dedos de las manos y eventualmente de los pies. Aun hoy hablamos de dígitos  (del latín digitus = dedo) para referirnos a las cifras 1 a 9 inclusive. Los antiguos romanos hablaban de “numerare per dígitos” contar por los dedos; también el primitivo y el niño “cuentan con los dedos” (no “cuentan los dedos”), como ocurre entre ciertos pueblos primitivos, que además de los dedos de las manos y de los pies utilizan otras partes del cuerpo, para contar y sumar; mientras que el cálculo digital mismo, mediante simbolismos adecuados relacionados con las posiciones de los dedos frente a otras partes del cuerpo, se perfecciono permitiendo el recuento de números bastante grandes, como se presenta en sistemas de épocas históricas: ya en la antigüedad y hasta en tiempos medievales.

(2) Los “quipos” peruanos. Un dispositivo semejante para contar es el fundado en las cuerdecillas con nudos, de los cuales el más conocido es el “quipo” (del quechua kipu=nudo) peruano con el cual, mediante un sistema de cuerdas de distintos colores en número y disposición diferentes, los antiguos peruanos, sin disponer de escritura, realizaban un cabal sistema de numeración escrita que les permitió registrar cuanto dato de utilidad para el estado podía registrarse, gracias claro es, también a la prodigiosa memoria de sus calculadores.

(3) La cronología maya. Otro ejemplo lo ofrecen los mayas de cuya escritura jeroglífica se descifra últimamente (1961) con calculadoras electrónicas, algunos textos religiosos: mientras que ya se conocían sus dos sistemas de numeración. En uno de ello, con signos jeroglíficos cada número se indica con una cabeza de dios, de hombre o de animal, mientras que en el otro de índole mas abstracta se utiliza un sistema posicional de base 20 (aunque no coherente), en el cual no figuran sino tres signos , un punto para la unidad, una barra para cinco unidades y una especie de conchilla u ojo semicerrado para indicar el cero, de manera que en este sistema cada “cifra” esta representada por un determinado grupo de pocos puntos y barras. El numero se forma ordenando las cifras de abajo hacia arriba. Este sistema, utilizado principalmente con fines cronológicos, no es coherente en el sentido que la tercera unidad no es 400=20, sino 360 discrepancia que se explicaría en vista de aquellos fines por ser el año oficial maya de 360 días.
Mientras que este sistema permite expresar números muy grandes, en los códices mayas aparecen números que superan los doce millones, es sintomático destacar en cambio que la escritura maya no ha superado la etapa pictográfica. Es posible que el afán de fijar con precisión las fechas vinculadas con los dioses patronos de cada ciudad o de cada individuo estimulara en los mayas la búsqueda de un adecuado sistema de numeración escrita que resulto dotado de un grado de abstracción muy superior al que revela su incipiente escritura.


                                        3. Formas y problemas

El contar y el numerar, con ser actividades comunes y frecuentes no agotan el campo de las nociones matemáticas del hombre primitivo y conjeturalmente del prehistórico.
Por su nombre: geometría en griego alude a “medir la tierra” los conocimientos geométricos tuvieron un origen práctico. Por lo menos, así lo atestigua Herodoto en un conocido pasaje de su historia;  “El rey de Egipto dividió el suelo del país entre sus habitantes, asignando lotes cuadrados de igual extensión a cada uno de ellos y obteniendo sus principales recursos de las rentas que cada poseedor pagaba anualmente. Si el rio arrasaba una parte del lote de un habitante, este se presentaba al rey y el exponía lo ocurrido, a lo cual el rey enviaba personas a examinar y medir la extensión exacta de la perdida y más adelante la renta exigida era proporcional al tamaño reducido del lote. Es en virtud de esta práctica que pienso, comenzó a conocerse la geometría en Egipto, de donde paso a Grecia.”
Mas no solo el hombre midió la tierra; otras mediciones exigió la construcción de sus viviendas y tumbas, de sus graneros y canales. Por lo demás nuevas nociones geométricas surgieron de las formas y figuras con que el hombre decoro y ornamento sus viviendas y sus objetos, así como  de la observación de formas que atrajeron su atención por su sencillez o su simetría: (“la línea” viene de lino), el circulo, los polígonos y poliedros regulares. El ladrillo de antigua data, aporto probamente  la noción de ángulo recto, mientras que nuevas formas geométricas nacían de los movimientos: ya de las danzas humanas, ya del andar de los astros en la bóveda  celeste.
Por último, cabe mencionar otras nociones matemáticas de origen completamente distinto: es el conjunto de problemas, enigmas y adivinanzas que componen el folklore matemático que practican todos los pueblos, mostrando a veces curiosas coincidencias solamente por transmisión oral a la manera de semillas que lleva el viento, favorecida por el carácter recreativo, enigmático y a veces, sorprendente del problema.
Sin embargo, no obstante tal finalidad extramatemática, las cuestiones del folklore matemático encierran interesantes nociones de orden aritmético y, a veces hasta algebraico.

Colección cientifica de Time-Liffe Matemáticas 8 Las matemáticas en la actualidad: hechos, dudas, sueños

Las pruebas estelares de una teoría
La fotografía planetaria del lado opuesto simboliza la primera verificación de la Teoría General de la Relatividad de Einstein, un descubrimiento físico del siglo xx basado en la brillantez de las matemáticas del siglo xix. Durante el eclipse de 1919, que se reconstruye aquí, los científicos descubrieron que la luz de las estrellas se torcía cuando pasaba el sol, según predecía la Relatividad.




1. Las matemáticas en el siglo XX siguen creciendo sin fin.
El número de matemáticos, de unos 60.000 en 1972, ha aumentado en varios cientos desde 1900. Grandes empresas tales como IBM, Bell Telephone y General Electric, mantienen centros de investigación rodeados de césped, donde se paga a grupos de matemáticos para que piensen y nada más. En el Pentágono abundan los doctores en matemáticas. Los computadores electrónicos -esos esbirros de las matemáticas- se utilizan ahora en los centros vitales de la sociedad: en los centros de mando de los cohetes dirigidos y buques de guerra, en el Ministerio de Hacienda, en las oficinas de las líneas aéreas, en la Bolsa de Nueva York.

Las matemáticas, en síntesis, son el centro de la vida moderna. Nunca jamás, anteriormente, una torre de marfil proyectó, durante tanto tiempo, una sombra sobre la vida cotidiana. Al mismo tiempo, paradójicamente, sus iniciados no se han arrepentido de su afición por lo abstracto. Se han familiarizado con el abrupto y azulado horizonte jalonado por los matemáticos del siglo XIX. Y se asocian con abstracciones de abstracciones, «covariantes» y «contravariantes» «grupos de transformación» y números «transfinitos» «deformaciones discontinuas» y «espacios topológicos».
Estas excursiones en la pura fantasía matemática, aunque no parecen nada prácticas, tienen una forma peculiar de llevar la delantera a la ciencia física, de suministrar ecuaciones que se apliquen a los hechos antes que la ciencia halle los hechos que se apliquen a las ecuaciones. Esto ha sucedido tantas veces -y también ha fracasado en tantas otras- que muchos matemáticos se consideran a sí mismos como formuladores de posibilidades más bien que como descubridores de la verdad. La licencia impartida por esta visión del «arte por el arte» ha terminado en una pródiga inventiva. Los matemáticos de hoy en día se han desbocado de golpe en todas direcciones, haciendo conquistas con gran rapidez.
Los eruditos que han tratado de seguir esta agitada expansión nos aseguran que estamos viviendo en la Edad de Oro de las Matemáticas; estiman que en el último siglo se han creado casi tantas nuevas matemáticas como en todos los siglos anteriores juntos. Las estadísticas lo confirman. Según un reciente censo de las críticas en Revistas matemáticas, el número de trabajos publicados por matemáticos creadores se duplicó de 1940 a 1950, se duplicó de nuevo de 1950 a 1960, y volvió a duplicarse con exceso de 1960 a 1970; en otras palabras, aumentó un 800 por ciento en 30 años. Nicolás Bourbaki, seudónimo del supersabio que representa el esfuerzo colectivo de un grupo de intelectuales franceses, ha publicado casi 40 volúmenes de una enciclopedia sobre los fundamentos de las matemáticas modernas, y todavía no se ve el fin.
Tanto en alcance como en antigüedad, las matemáticas modernas desafían a la descripción fácil. En general, no obstante, se han desarrollado dentro de dos líneas: por un lado éxito y conquista -la habilidad para solucionar problemas-, por el otro investigaciones de espíritu y contemplación -una incertidumbre en lo referente a la naturaleza y, finalmente, las últimas abstracciones matemáticas.

Por el lado contemplativo, dos de los desarrollos más notables son la teoría de conjuntos y la lógica simbólica. La teoría de conjuntos, entre otras cosas, facilita un nuevo tipo de aritmética para el tratamiento del infinito, la lógica simbólica representa un intento de reducir todo el razonamiento matemático a una notación matemática. Tanto la teoría de conjuntos como la lógica simbólica se hallan estimuladas por una tercera forma de matemáticas, la teoría de los grupos, que desempeña un papel unificador en el análisis y revela asombrosas similitudes entre los distintos dominios matemáticos.

Entre sus principales conquistas, las matemáticas del siglo XX cuentan con dos reinos completos y nuevos: la teoría del juego y la topología. La teoría del juego es el análisis de la estrategia, bien sea en el apasionante juego de los negocios o en el frío juego de la guerra. La topología es el estudio de las propiedades de las formas geométricas que no varían cuando las propias formas se alargan, doblan o se ponen al revés.
De todos los triunfos de las matemáticas, el más espectacular ha sido la Relatividad, la cual, al preceder a nuestra era atómica, ha probado irrevocablemente el espantoso poder que las matemáticas pueden ejercer sobre la vida cotidiana. El creador de la Relatividad, Albert Einstein, llegó a ser una de las más grandes personalidades de nuestra época. Como tal contribuyó a unir la amplia distancia entre las matemáticas y el público.
La Teoría de la Relatividad, la obra maestra de Einstein, está en realidad formada por dos teorías: la Relatividad Especial y la Relatividad General, la primera publicada en 1905, la última en 1916. Ambas teorías están basadas en la premisa de que todas las mediciones científicas son relativas al marco de referencia del observador: que no hay ningún centro fijo en el cosmos para que los científicos empiecen, partiendo de éste, a medir distancias y a describir con precisión dónde y cuándo exactamente sucede cada cosa en el espacio.
En efecto, la Relatividad Especial constituye una forma nueva de escribir ecuaciones de la mecánica de Newton para corregir sus inadecuadas descripciones de la energía y de los objetos - galaxias distantes o partículas atómicas -, que se mueven casi a la velocidad de la luz, 300.000 km por segundo. La portentosa ecuación del poder nuclear,

E = m x c²

(que significa que la energía, E, en un pedazo de materia es igual a la masa, m, de la materia multiplicada por el cuadrado de la enorme velocidad de la luz, c) derivó de la Relatividad Especial como un corolario.
La Relatividad General perseguía el mismo fin que la Relatividad Especial, pero con una gran fuerza. En la Relatividad Especial, Einstein había examinado las leyes newtonianas de forma tal que fueran aplicables a los cuerpos que se mueven de prisa y que van a velocidades constantes a lo largo de líneas rectas. En la Relatividad General amplió sus ecuaciones de forma tal que fueran aplicables a los cuerpos que viajaban a velocidades cambiantes a lo largo de líneas curvas. Las así denominadas «ecuaciones de campo» de la Relatividad General no tan sólo abarcan todo estado posible de movimiento sino que también describen todo el comportamiento de nuestro universo y todos los universos imaginables.

Einstein pudo alcanzar dichas fórmulas sólo porque él adoptó las totalmente hipotéticas, aparentemente inútiles ideas de Riemann acerca del espacio geométrico curvo. Según Einstein el espacio real por donde andan los hombres y las estrellas buscan sus trayectorias es, en verdad, curvo. La evidencia de que el espacio es curvo cerca del sol empezó a acumularse casi de golpe después de la publicación de la Relatividad General. En 1919 los astrónomos que observaban los eclipses en sus viajes por el Brasil y el África Occidental hallaron que los rayos de luz estelar que pasaban cerca del borde del sol se doblaban ligeramente y, por lo tanto, hacían que sus progenitores estelares aparecieran ligeramente desplazados en el cielo. No mucho después, los descubrimientos astronómicos referentes a un progresivo cambio en la órbita de Mercurio y un enrojecimiento de luz en ciertas estrellas confirmaron también las ideas de Einstein en torno a la curvatura del espacio.
Para realizar sus sueños, Einstein dispuso la materia movible y la energía del cosmos dentro de un marco matemático de cuatro dimensiones tres para el espacio y una para el tiempo. Incluyó el tiempo, ya que había hallado en la Relatividad Especial que el tiempo y el espacio son inseparables, que el tiempo en que ocurre un suceso no es independiente del movimiento del observador. En las posteriores especulaciones de Einstein, materia y gravedad son manifestaciones una de la otra; así, puede considerarse que la materia es una infusión de la gravedad, cuya intensidad varía de un punto a otro. En la Teoría del Campo Unificado, Einstein intentó explicar las fuerzas eléctricas y magnéticas.

2. Una máquina cósmica del juego del millón
Es la presencia de la gravedad en la continuación lo que da lugar a la curvatura del espacio. El efecto es algo parecido al que crean los pequeños imanes situados debajo de la superficie de juego de algunas máquinas del millón. Cuando los imanes se desconectan, la superficie actúa como un plano inclinado, pero al encenderse, la superficie se comporta como si estuviera llena de colinas y valles. En la máquina cósmica del millón de Einstein, la materia y la energía desempeñan el papel de bolsas e imanes, siguiendo la forma del espacio a medida que se mueven.

(Los matemáticos insisten en que las descripciones de este tipo no deben tomarse demasiado literalmente. Cuán traidoras pueden ser queda ilustrado en una anécdota que se refiere a Einstein y un teórico ruso que disertaba sobre la Relatividad.

Queriendo simplificar, el ruso comparó una de sus ecuaciones «con una taza y un platillo en su vuelo en el espacio». En este punto, la historia prosigue, Einstein se puso en pie protestando, y después de un intercambio de ecuaciones con el ruso volvió a su asiento. Cuando hubo terminado, los oyentes se agruparon alrededor de Einstein deseando saber lo que había sucedido. «Esta situación que describía - explicó Einstein - dijo que era como una taza y un platillo, pero en realidad era como dos tazas y dos platillos en el espacio.»)
Al tratar de cuestiones difíciles del cosmos - o en realidad del átomo - las matemáticas abstractas han sido obligadas a una utilidad casi surrealista. Esto en sí mismo ha constituido una fuente de entretenimiento para los matemáticos, pero también una fuente de discusiones. ¿Cómo seguir creando más matemáticas del mismo alcance? ¿Cómo juzgar las líneas de análisis que se revelarán en el futuro?
Los matemáticos no conocen ninguna respuesta a este predicamento, algunos trabajan bajo el credo «Piense concretamente». Otros inventan por el placer de su arte solamente. En gran parte, la diferencia filosófica entre las dos escuelas tiene poca influencia en sus verdaderos métodos de trabajo. Ambas tratan de expresar sus creaciones en los términos más generales posibles, para marcar amplios aspectos de posibles problemas específicos. Y ambas tratan de evitar que las definiciones insípidas y los razonamientos defectuosos penetren furtivamente entre sus abstracciones, a las que no pueden aplicar los testes normales de la experiencia.

3. La forma de un sea lo que fuere
Para explorar los laberintos donde pueden agacharse los futuros gigantes del conocimiento, los matemáticos modernos iluminan su camino por medio de la teoría de los grupos y la lógica simbólica mencionada anteriormente. La teoría de los grupos y de los conjuntos, son utilizadas ambas para comparar los instrumentos de las distintas ramas de las matemáticas y para hacerlas todo lo intercambiables que sea posible. Un conjunto es una reunión cualquiera de entes. Un grupo es un tipo particular de conjunto de números, símbolos, puntos, líneas, movimientos, átomos, unidades de energía o un «sea lo que fuere» indefinido. Se distingue de cualquier otro viejo conjunto por tener que obedecer ciertas reglas con respecto a algunas operaciones tales como la suma y la multiplicación. Por ejemplo, la sucesión de dos miembros cualesquiera del conjunto cuando se combinan a través de la operación, debe de permanecer en el conjunto -el «4» producido por la unión del «2» y el «2» es también un número entero-. Además, cuando se combinan varios números de un conjunto, la forma en que están ordenados no debe afectar al resultado - por ejemplo, a(bc) debe ser igual (ab)c.
La teoría de los conjuntos fue desarrollada por el matemático alemán Georg Cantor como una técnica para «anatomizar el infinito». Durante el siglo XIX había habido continuos intentos para definir procesos infinitos tales como la diferenciación y la integración en términos de una aritmética simple. El sentimiento era que si todos los procesos y símbolos podían definirse así, habría menos dificultad para razonar con precisión sobre ellos. Como dijo un matemático, Leopold Kronecker : «Los números enteros son obra del buen Dios. Todo lo demás es obra del hombre».
Fue el triunfo de Cantor, en la teoría de los conjuntos, distinguir órdenes distintos de infinito en distintos conjuntos infinitos. Comparó los conjuntos infinitos al aparejar sus miembros, dos a dos, como los animales del arca de Noé. A través de este método aparentemente simple, alcanzó conclusiones sorprendentes. Por ejemplo, todas las fracciones pueden ser aparejadas con un conjunto infinito de números enteros. Los dos conjuntos infinitos son, por lo tanto, «iguales»; a pesar de esto, el conjunto de todas las fracciones incluye el conjunto de todos los números en virtud de términos tales como 2/1 ó 6/2, en otras palabras, aunque los dos conjuntos son iguales, uno contiene al otro como un «subconjunto». A través de la misma técnica, Cantor averiguó que otras series infinitas - todos los puntos en la línea de un segmento, por ejemplo, no pueden aparejarse con los números enteros. En pocas palabras, no pueden contarse. Cantor halló otros órdenes de infinito - otros «números transfinitos» que todavía son más infinitos -. Creó una aritmética para tratar dichos conjuntos infinitos - un arma tal con la que los matemáticos podían dividir su antiguo mito en torno al infinito en varias fases lógicas.
Aunque los conjuntos son más inclusivos que los grupos, la teoría de los grupos ha sido denominada el arte supremo de la abstracción matemática.

Su principal pionero fue un trágico joven francés del siglo XIX, Evariste Galois. El pobre Galois preparó la teoría de los grupos para las ecuaciones. Guardó el contenido de la obra de su vida en un documento de treinta y una páginas casi ininteligibles, escrito de prisa en la última noche de su vida, cuando sólo tenía veinte años. A la mañana siguiente murió en un duelo por causas políticas y una chica que apenas conocía.
La teoría de los grupos llega al fondo de lo que sucede cuando se efectúa un tipo de operación matemática con distintos elementos, o cuando se realizan sucesivamente diferentes operaciones con un elemento unitario. A través de este análisis deja al descubierto modelos estructurales básicos de las matemáticas. Un innovador agobiado por las dificultades puede algunas veces utilizar la teoría de los grupos para pasar a otras ramas de las matemáticas y poder seguir adelante con su obra. La teoría también ayuda a los científicos cuando observan modelos oscuros por naturaleza. Se ha utilizado, por ejemplo, para analizar configuraciones de moléculas y cristales - disposiciones importantes en la química de los genes humanos o en los «sólidos circuitos» de la electrónica moderna.

Todo tipo de objetos matemáticos se comporta como grupo. Por ejemplo, un triángulo equilátero puede descansar sobre cualquiera de sus tres lados y continuar pareciendo lo mismo. Las rotaciones a que da lugar el triángulo, desde una de estas posiciones a la otra constituye un grupo.
Lo que es más, este grupo tiene una contrapartida estructural en un cierto grupo de permutaciones y en un grupo formado por las soluciones de una ecuación cúbica determinada. Los tres grupos son realizaciones de un solo «grupo abstracto». Por lo tanto, el mismo grupo abstracto abarca casos referentes a tres reinos distintos, la geometría, la aritmética de las disposiciones y el álgebra.
Los hábiles cambios que realiza la teoría de los grupos en un tipo de creación matemática para transformarlo en algún otro tipo distinto se conocen por «transformaciones». Una ecuación algebraica se transforma cuando, por ejemplo, toda x en ésta es reemplazada por una y - 5. Una figura geométrica en un plano se transforma cuando se alarga o cuando se proyecta su sombra en una superficie distinta o en un tipo distinto de espacio. Fue un grupo de transformaciones algebraicas, ideado por un físico holandés, Hendrik A. Lorentz, para tratar diversos problemas de electricidad, el que utilizó Einstein para construir su Relatividad Especial.
Durante las transformaciones, algún aspecto de una ecuación o de una forma geométrica puede permanecer obstinadamente inalterado. Estas sólidas islas se denominan «invariantes». Puede que no sean más perceptibles que el centelleo invariante en el ojo de un actor de una compañía de teatro, pero los matemáticos los buscan y se aferran a ellos. Una idea de su importancia se puede obtener de una definición de la teoría de los grupos de la geometría como «el estudio de las invariantes de las configuraciones geométricas bajo grupos de transformaciones».
La más introspectiva de las súper matemáticas que ayudan a los analistas del siglo XX a hallar su sendero, es la lógica simbólica: una notación para señalar y manipular todo tipo de proposiciones para llevar a los sequiturs y a los nosequiturs a una revelación extremadamente despiadada. A través de la lógica simbólica - cuyas manifestaciones pueden probarse en el extracto de Lewis Carroll- los matemáticos se han propuesto una tarea ímproba: clasificar y analizar los pensamientos que se hallan comprendidos en cada rama de las matemáticas, con el propósito de identificar los axiomas y procedimientos que cada uno tiene por base y de reducir todas las pruebas posibles a los esqueletos más simples. Por medio de este plan los resultados deberían ser absolutamente abstractos y sus proposiciones lo más abreviadas posible, tales como «si se supone el axioma A entonces se desprende el teorema B», que en una trascripción en lógica simbólica se escribiría así

A ⊃ B,

o «si se supone A o B entonces resulta el negativo de C», se escribiría así:

A ∨ B ⊃ ~ C.

Se han realizado varios esfuerzos monumentales para traducir todo el razonamiento matemático en dicha abreviación, en especial los tres tomos de símbolos de la Principia Mathematica, publicados por Alfred North Whitehead y Bertran Russell entre 1910 y 1913.
La lógica simbólica ha producido uno de los teoremas más curiosos e influyentes de todas las matemáticas modernas. Esta es la demostración de Gödel, una línea de razonamiento extremadamente abstracta que muestra que no puede construirse ninguna rama útil de las matemáticas sobre un conjunto consistente de axiomas sin suscitarse problemas sin solución dentro del marco de los propios axiomas. Es como si alguna propiedad estructural de un triángulo rectángulo jamás pudiera verificarse por medio de los axiomas euclidianos que condujeron a la formulación del teorema de Pitágoras. Para la aritmética, la demostración de Gódel muestra que todas las relaciones posibles entre los números enteros no pueden deducirse de ningún conjunto de supuestos básicos. Las relaciones posibles o «verdades» acerca de los números son tan ilimitadas como el propio desfile de números. Para las matemáticas en conjunto, la implicación es que la disciplina nunca será completa.
Kurt Gödel - en la actualidad miembro del Instituto para Estudios Superiores en Princeton - elaboró su notable teorema en 1931 a la edad de 25 años. Lo demostró a través de lo que denomina «una prueba de existencia», un tema que demuestra que algo existe sin producir necesariamente ese algo para su inspección. El teorema de Gödel se toma o con antipatía o con alborozo. Los que están más afectados son los matemáticos «formalistas». Los más contentos son los de espíritu libre que no puede soportar el pensamiento de que las matemáticas pudieran jamás estar bien esquematizadas. Entre éstos uno de los más famosos fue John von Neumann, que desempeñó un papel primordial en el desarrollo de la bomba atómica. Von Neumann en cierta ocasión dijo «Gran parte de la inspiración matemática proviene de la experiencia y apenas es posible creer en la existencia de un concepto absolutamente inmutable del rigor matemático disociado de toda experiencia humana».

4. Acercamiento a un adversario cambiante
Una de las principales contribuciones de Von Neumann, la teoría de los juegos, es uno de los desarrollos más prácticos de nuestra época. Propugna complicadas leyes de estrategia: cómo adoptar las mejores variaciones en el juego para evitar la derrota ante un adversario cambiante; cómo sacar el mejor partido de una mala situación o evitar lo peor de una buena, al enfrentarse con un competidor muy racional y analítico.
La teoría de los juegos ha sido utilizada en una gama de aplicaciones. Ha contribuido a determinar el espacio de tiempo más ventajoso que debiera observar una empresa de discos entre la presentación al público de dos grabaciones de éxito segurb; ha sido utilizada en un contrato «cielo-azul» o «piense» propuesto, no hace mucho tiempo, por la Oficina de Investigación Naval americana. En un juego que no ofrece ninguna perspectiva clara de ganar, la teoría de los juegos puede mostrar cómo hallar la estrategia que se acercará más para conseguir tablas.

Como resultado de esto la idea de la minimización de las máximas pérdidas - denominados «mini máximos» o «puntos de silla» de Von Neumann - ha sido utilizada por ambos lados en la guerra fría, y puede contribuir al retraso indefinido de la tercera guerra mundial.
Entre la difícil lógica abstracta de los formalistas y las igualmente difíciles teorías de los adeptos de Von Neumann en las matemáticas modernas, se encuentra la sombra de los computadores electrónicos de gran velocidad. Diariamente, partiendo de elegantes fórmulas, se traducen las matemáticas en prosaicas hojas de instrucciones que los computadores digieren por medio de la fuerza mecánica bruta. Un computador puede solucionar problemas que dejarían a un Newton o a un Gauss con la boca abierta, y solucionarlos con un número cualquiera de decimales, por medio de esquemas de aproximación puramente pragmáticos.
Mientras tanto los matemáticos puros van ascendiendo cada vez más arriba hacia nuevos cielos de abstracción. Lo que están alcanzando nadie de nosotros lo sabe realmente, ya que los equivalentes de la Relatividad y la energía atómica -que pueden salir a partir de las matemáticas actuales puede ser que no se comprendan durante varias décadas.
En lo que al propio futuro se refiere, está bien descrito por André Weil, uno de los colaboradores franceses en la obra de Bourbaki : «El gran matemático del futuro, así como el del pasado, huirá del camino muy trillado. Es gracias a inesperados rapprochements, que nuestra imaginación no hubiera sabido cómo llegar hasta ellos, que él solucionará, al darles otro giro, los grandes problemas que le dejaremos como legado».

Matemáticas David Bergamini Colección cientifica de Time-Life

Colección cientifica de Time-Liffe Matemáticas 7 Un paso lógico más alla del horizonte

Pompas matemáticas
Las pompas de jabón que salen de una pipa parecen bastante distantes de los problemas cósmicos que empezaron a absorber a los matemáticos del siglo XIX pero las fuerzas que actúan sobre ellas son las más profundas de la naturaleza. Ilustran problemas de máximos
y mínimos -las pompas siempre toman una forma con la menor área posible- básicos para el desarrollo de las ecuaciones diferenciales




1. Preámbulo
Los jóvenes graduados gozan diciendo a los estudiantes de primer curso que cuando un estudiante llega a dominar la aritmética, la geometría, el álgebra, la geometría analítica y el cálculo, está preparado para empezar el estudio de las matemáticas. Se refieren a las matemáticas del siglo XIX, un período en que toda la disciplina del análisis despegó hacia un abrupto y azul horizonte en el que se pierde el lego y donde incluso el matemático puede ir a tientas. Antes de 1800 los matemáticos se apoyaron en gran parte en su intuición y sentido común, visualizando sus pensamientos en términos de la geometría o de la mecánica realista. Después de 1800 empezaron a reconstruir las matemáticas con fundamentos más sólidos que el simple sentido común. Y a finales del siglo las matemáticas eran todo un edificio nuevo cuyas agujas imaginarias llegaban al cielo.
Surgieron nuevas legiones de números; los números antiguos con los que contamos se incluyeron como un solo grado. Se establecieron nuevas relaciones funcionales, éstas incluían las funciones algebraicas ordinarias, las funciones trigonométricas y logarítmicas como simples subproductos. Y las geometrías griega y cartesiana se transformaron en casos especiales de las geometrías generalizadas de n dimensiones, geometrías de superficies y formas que comprendían más dimensiones de las habituales: altura, anchura, y profundidad y que, por lo tanto, eran imposibles de representar. El álgebra clásica se convirtió en una de entre las muchas álgebras superiores, álgebras en las que se reemplazaban párrafos enteros de símbolos tradicionales por caracteres individuales manipulados según extrañas leyes, por ejemplo, que a x b no tenía necesariamente que ser igual a b x a.
Al aprender todas estas curiosidades, cualquier persona sensata puede tener la sensación de que sus peores sospechas acerca de lo confusas que son las matemáticas se han confirmado. Pero en las matemáticas las proposiciones más amplias pueden ser las más útiles. Al matemático actual se le pide que solucione una enorme variedad de problemas. Cuanto más comprensivas sean sus clasificaciones, mayor es la posibilidad de que extraiga de su sombrero una ecuación adecuada para determinado trabajo.
Los matemáticos escogieron el camino de la generalidad por necesidad más bien que por elección propia. En todo el siglo XVIII habían estado ocupados explorando las regiones prácticas del cambio y la posibilidad siguiendo las directrices de los grandes innovadores del siglo XVII tales como Newton y Fermat. El prolífico suizo Leonhard Euler, creó multitud de nuevas aplicaciones para el cálculo en lo que se refiere a curvas y superficies. Los académicos franceses Joseph Louis Lagrange y Pierre Simon de Laplace pudieron elaborar, a través del cálculo, teorías comprensivas de la mecánica ordinaria y celeste, levantando con ello un vigoroso marco para la ingeniería y la astronomía modernas.
Hacia principios del siglo XIX los matemáticos averiguaron que el uso de las abstracciones que empleaban empezaba a ser insuficiente. Se presentaban problemas que desafiaban el viejo tratamiento del sentido común.

Euler, por ejemplo, había definido una relación funcional entre dos variables en el sentido de «un tipo de curva que se describe al mover libremente la mano», con lo que quería decir simplemente una curva uniforme. ¿Pero la curva tenía que ser siempre uniforme, o podía aplicarse la palabra también a ciertas ecuaciones que representaban grupos de puntos discontinuos? ¿Las ecuaciones escritas en términos de más de tres variables podían imaginarse, tal vez, en términos de más de tres dimensiones, dimensiones más allá de las habituales de altura, anchura y profundidad? ¿Las expresiones indefinidamente largas, tales como x + x2 + x3. . ., lo que los matemáticos llaman «series infinitas», podían ser tratadas por medio de las reglas de la aritmética, como hasta entonces, o eran necesarios aplazamientos especiales para poder abarcar su infinidad?
Enfrentada con tales dificultades conceptuales, la mente empezó a titubear. Lagrange se desesperó tanto que abandonó las matemáticas durante un período de varios años, y, en una carta a su amigo y colega Jean Baptiste D'Alembert, en 1781, expresó la opinión de que las matemáticas estaban ahondando demasiado, con peligro de ser destruidas. D'Alembert, en cambio, no sosegó a sus alumnos, sino que les exhortó «Seguid adelante y la fe vendrá a vosotros».
En la misma época que el pesimismo se establecía en el campo matemático, Carl Friedrich Gauss, había empezado justamente a desarrollar su prodigioso talento para los números. En 1779, cuando aún no tenía tres años, el muchacho observó a su padre, que era capataz, cómo hacía las nóminas de los albañiles. El padre cometió un error y cuando repasó los números halló que su hijo estaba en lo cierto.
Gauss es tal vez el último genio que jamás convierta en disciplina unitaria el estudio de las matemáticas; durante su larga vida aparecieron en torno suyo más matemáticas nuevas, se estima, que en todos los siglos anteriores. Gauss encauzó el nuevo movimiento hacia la generalidad, al imponer a ésta la rigidez de sus concepciones, exigiendo un pensamiento absolutamente riguroso. En sus propias innovaciones, tanto analíticas como geométricas, preparó el terreno para la relatividad y la energía atómica del siglo XX. Debido a sus investigaciones en el campo de la electricidad se le ha honrado con la palabra «gauss», una unidad de magnetismo, y también con el término naval «degaussing», que significa contrarrestar el magnetismo de un barco como previsión contra minas. Lo que es más, él y su asociado, Wilhelm Weber, inventaron y construyeron un telégrafo que funcionaba y lo utilizaron como un sistema de intercomunicación en 1883, unos dos años antes que Samuel F. B. Morse.

Por cuenta propia, Gauss pensó en los rudimentos de la aritmética antes de que supiera hablar. A la edad de 10 años, cuando se pidió a su clase que sumaran todos los números de 1 a 100, instantáneamente escribió 5050 en su pizarra y lo entregó con una orgullosa declaración: «ahí está». Cuando los otros estudiantes entregaron sus pizarras después de un tiempo considerable y de un gran esfuerzo, nadie, a excepción de Gauss, tenía la respuesta correcta. Parece ser que Gauss había visto que cada uno de los pares de números, 1 y 100, 2 y 99, 3 y 98, 4 y 97, etc., y así hasta 50 y 51, dan un total de 101, y que, por lo tanto, el total de los pares debe ser 50 x 101.

2. Un Mozart de las matemáticas
A la edad de 14 años este Mozart matemático fue objeto de la consideración de Fernando, duque de Brünswick, quien a partir de entonces apoyó financieramente al muchacho en el bachillerato, en la Universidad y en las primeras etapas de su carrera. Utilizando al máximo su buena suerte, Gauss devoró los clásicos y las tablas logarítmicas con igual apetito, y llegó a dominar el griego, latín, francés, inglés y danés, así como la geometría, el álgebra y el cálculo. A la edad de 19 años empezó a llenar las páginas de sus apuntes con nuevas matemáticas, propias, nuevos teoremas en la abstrusa región de la teoría de los números, y esquemas radicales para generalizar los métodos de la geometría. Dejó muchas de sus creaciones medio desarrolladas y nunca se preocupó de publicarlas. Como resultado, el alcance total de sus exploraciones mentales no fue comprendido hasta que se publicaron sus papeles después de su muerte. Pero su influencia fue tal, que a otros matemáticos les irritaba la sensación de que cualquier cosa que hicieran él lo habría hecho anteriormente.
La sagacidad con que Gauss acaparaba sus tesoros se explica en parte por su pasión por la perfección. «Poco, pero selecto», era su lema, con lo que quería significar que no quería complicar las matemáticas con nada que diera lugar a un callejón sin salida o emplear su energía en algo que no fueran las ideas más prometedoras que corrían por su cabeza. Cuando la Academia de París ofreció un premio a quien pudiera demostrar un famoso teorema propuesto por Fermat, Gauss rehusó entrar en el concurso con brusquedad característica. «Confieso -escribió- que el último teorema de Fermat como proposición aislada tiene muy poco interés para mí, puesto que yo fácilmente pudiera hacer una multitud de tales proposiciones que nadie podría probar ni utilizar.» Si hubiera procedido de otro, la observación hubiera parecido jactancia. En Gauss fue simplemente una afirmación que causó la admiración y desesperación de sus colegas.
Se cree que Gauss retuvo algunas de sus ideas por miedo de que parecieran demasiado poco ortodoxas. Él no podía ver una razón a priori para que el espacio tuviera que trazarse, como si dijéramos, por medio de líneas rectas, la forma en que todo el mundo, desde Euclides, había supuesto que era. ¿Por qué, en verdad, el espacio no podía ser curvo? Después de todo, una línea medida en una sola dimensión, longitud, puede ser curva. Y una superficie medida en dos dimensiones, longitud y anchura, puede ser curva. ¿Por qué no podía ser curvo el espacio medido en las tres dimensiones: altura, anchura y profundidad? Era fácil tomar en consideración la posibilidad como una abstracción, pero era imposible visualizar el espacio resultante. Por lo tanto, Gauss se guardó su propio parecer e incluso puede que dudara acerca de la sensatez de la idea.
Gauss contribuyó a pavimentar el camino del álgebra abstracta superior por sus pensamientos en torno a una clase de números conocidos por «números complejos»: un número compuesto de un número ordinario más algún múltiplo de la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno. Empezó a ocuparse por primera vez en estas extrañas creaciones de la mente humana en su tesis doctoral de 1799, en donde se demostró el teorema fundamental del álgebra, que toda ecuación tiene tantas soluciones como su grado, hecho que habían tratado de comprobar los matemáticos durante más de un siglo. Al demostrar el teorema, Gauss mostró que todas las soluciones de toda ecuación algebraica son, de hecho, números complejos o bien números tales como 7 + 4√ -1 o como 3 + 0√-1, que se reduce simplemente a 3. Los matemáticos habitualmente escriben la √-1 en dichos números por i y cualquier número complejo por a + bi.
Posteriormente, al desarrollar los números complejos, Gauss propuso una forma geométrica de representación que iba a resultar extremadamente provechosa. Los números ordinarios pueden considerarse todos como si estuvieran a lo largo de una sola línea recta, una corriente continua sin separaciones, lo que los matemáticos llaman una «continuidad». Pero a un número complejo típico, a + bi no le corresponde ningún lugar en la línea de los números ordinarios. Gauss comprobó, no obstante, que podía considerarse como si identificara un punto en un plano bidimensional; que la a en este número podía considerarse como una distancia horizontal, y la b como una distancia vertical, y que, de hecho, la expresión total a + bi podría determinar la posición de un punto en un plano exactamente de la misma forma que x e ycomo par de coordenadas cartesianas determinan un punto en un gráfico. Cuando dos números ordinarios se multiplican, el resultado es un salto a lo largo de la línea recta. Cuando se multiplican dos números complejos, no obstante, el resultado es un espectacular movimiento en forma de trapecio dentro de un plano bidimensional.
El comportamiento excéntrico de los números complejos es importante debido a que concuerda perfectamente y, por lo tanto, sirve como traducción literal del comportamiento de muchas cantidades en la naturaleza, tales como fuerzas, velocidades o aceleraciones que actúan en direcciones definidas. Cuando se ejercen dos fuerzas de direcciones opuestas sobre el mismo punto, por ejemplo, su efecto neto es una tercera fuerza con una nueva dirección. Diagramáticamente, como se muestra en la figura, la fuerza y la dirección de cada una de las dos fuerzas puede ser representada como la longitud y la dirección de un segmento lineal. Cada uno de estos dos segmentos lineales, a su vez, puede ser representado por un número complejo, y los dos números complejos al sumarse conjuntamente representan, por lo tanto, la tercera fuerza que se origina.
Los segmentos lineales que simbolizan las fuerzas, las velocidades y cosas análogas se denominan «vectores» y constituyen un instrumento esencial para la física. El hecho que éstos y los números complejos se comporten de una forma matemática análoga hace posible analizar complicadas situaciones en las que un conjunto de fuerzas están actuando a la vez, en la brújula giroscópica de un barco, por ejemplo.
Después de haber cooperado en la fundación del análisis vectorial en dos dimensiones, Gauss prosiguió, alrededor de 1819, hasta inventar un tipo de números que servirían finalmente para representar las fuerzas, las velocidades y las aceleraciones que actúan en más de dos dimensiones. Estos son los «números hipercomplejos», expresiones tales como

a + bi + cj + dk

en las que cualquiera de las unidades i, j y k, cuando se elevan al cuadrado, dan lugar a menos uno. La cosa más sorprendente acerca de estos números hipercomplejos es que prescinden de una regla básica de la aritmética que se consideró previamente inviolable.

Al multiplicarse conjuntamente, dos números hipercomplejos pueden dar lugar a resultados distintos dependiendo del orden en que se tomen, el número hipercomplejo a multiplicado por el b no es siempre igual al número hipercomplejo b multiplicado por el a.

3. Lo exótico y lo herético
Alrededor del año 1840, Hermann Grassmann, un compatriota de Gauss, afrontó honradamente estas trascendentales implicaciones y elaboró un álgebra hipercompleja, un álgebra para la que inventó distintos procedimientos nuevos para la multiplicación y en la que los vectores son tratados con independencia del número de dimensiones. En las décadas que siguieron a la obra revolucionaria de Grassmann en el análisis vectorial, que todavía constituye un arduo terreno para la vanguardia matemática de la actualidad, se descubrieron otros tipos de números exóticos que desobedecían a otras sacrosantas leyes de la aritmética, la de, por ejemplo, (a x b) x c debe ser igual a a x (b x c). Poco después las distintas álgebras, cada una con sus propias reglas, símbolos y ecuaciones, fueron tan abundantes como las setas.
Antes de la época de Gauss, los matemáticos habían tratado i, la raíz cuadrada de menos uno, con un escrupuloso respeto y una cierta y sincera incredulidad. Una vez se hubieron aplicado los números complejos a las fuerzas y cosas parecidas, i se transformó en un auxiliar matemático. Los números complejos e hipercomplejos se incorporaron progresivamente a las ecuaciones del álgebra y del cálculo. Los matemáticos empezaron a hablar de «funciones de variables complejas» queriendo significar relaciones entre variables con valores de números complejos. Éstas se utilizan hoy día para escudriñar, a partir de determinadas y complicadas ecuaciones diferenciales, las respuestas a algunos problemas de la física.
A partir de la época en que Newton las utilizó por primera vez, las ecuaciones diferenciales han sido una gran fuente de quebraderos de cabeza matemáticos y de creación matemática. Nuevas ecuaciones que requieren nuevas soluciones están constantemente apareciendo en las investigaciones científicas. Surgen de muchas clases de problemas, pero una categoría ha sido especialmente significativa en el desarrollo del pensamiento relativo a los problemas cósmicos o atómicos. Estos son los denominados problemas de máximos y de mínimos, y derivan a partir de lo que pudiera describirse como una tendencia de la naturaleza a trabajar con la mayor sencillez posible o con el mínimo de esfuerzo posible. Un rayo de luz que llega al ojo desde un objeto visto en un espejo ha minimizado su trayectoria al incidir y alejarse del espejo formando ángulos iguales. Dos burbujas de jabón que van unidas se ajustan en forma tal que tengan la menor área posible consistente con su contenido. Como expresó un fisiólogo italiano del siglo XVIII, Giovanni Borelli : «La perpetua ley de la naturaleza es actuar con un mínimo de esfuerzo... evitar, en la medida que sea posible, los inconvenientes y las proliferaciones». La indolencia de la naturaleza o «principio del esfuerzo mínimo», como se le denomina, hace referencia tanto al equilibrio estático como al dinámico: el estado de calma sigue al bullicio o la gravedad.

El cálculo se refiere a todos los problemas de equilibrio, y a los de maximizar y minimizar a través de la misma técnica. Considérese una fuente de ensalada, por ejemplo. El punto más profundo de la fuente es el punto de altitud mínima o de máxima profundidad. Éste es también la posición de equilibrio, el punto de energía mínima al que tenderá finalmente una bola lanzada en la fuente cuando deje de dar vueltas arriba, abajo y alrededor. En este punto los lados de la fuente dejan de tener pendiente: la tasa de variación de la altitud es cero.
Al hacer las tasas de variación igual a cero, los matemáticos tratan de hallar las trayectorias mínimas o máximas que utiliza la naturaleza para alcanzar sus fines. Las ecuaciones diferenciales que resultan son las ecuaciones más importantes de la ciencia práctica. Al integrarse se transforman en fórmulas analíticas ordinarias revelando los caracteres que se encuentran detrás de la máscara del cambio, variables tales como la posición, la temperatura, el peso o la carga eléctrica.
En las manos de un ingeniero, el principio de maximizar y minimizar a través de las ecuaciones diferenciales puede aplicarse a situaciones específicas incluso antes de que ocurran. Al diseñar un puente, por ejemplo, puede imaginarse el puente ya construido y después buscar el estado de equilibrio que alcanzará cuando los vientos soplen a la velocidad de 300 kilómetros. Si el equivalente matemático de «supóngase que la tasa de variación es igual a cero» resulta ser una ecuación sin solución, significa que el puente no encontrará ningún punto de apoyo sino que se romperá ante la presión del viento. Después de poner más vigas y cables en el puente el ingeniero puede probar de nuevo, experimentando mentalmente, con el viento y el acero a través de la maravillosa agencia de las ecuaciones diferenciales.
Probablemente la ecuación diferencial más popular que jamás se diseñara es una ecuación «diferencial parcial» que fue expuesta por Laplace. Tiene la siguiente estructura:

Por más oculta que aparezca, esta ecuación ha sido utilizada de hecho para describir la estabilidad del sistema solar, el campo eléctrico alrededor de una carga de electricidad o la distribución estable del calor en una cacerola debajo de la parrilla. Tales son las rápidas abstracciones de las matemáticas.
Nadie pregonó o practicó el ideal de ser versátil y general en las matemáticas de forma más persuasiva que Gauss. Primero se hizo famoso, no obstante, por medio de un hecho de computación puramente práctico. En 1801 el astrónomo italiano Joseph Piazzi accidentalmente vio el primero de los planetas menores o asteroides. Conocido en la actualidad por Ceres, este «conjunto de cosas sucias», como Gauss lo denominó, rápidamente se evadió de su descubridor y desapareció en las brillantes secciones del cielo cerca del sol. El descubrimiento del supuesto nuevo planeta había causado agitación en casi toda Europa. El haberlo «perdido» tan pronto sólo contribuyó a la emoción. Los desdichados astrónomos se enfrentaron con la gigantesca tarea de calcular sus posiciones a partir de unos pocos puntos de referencia. Los cálculos parecían enormemente difíciles para todo el mundo, a excepción de Gauss. Sumergiéndose en las tablas logarítmicas que había memorizado, apareció unas pocas semanas después con una predicción teórica de la órbita completa de Ceres. Cuando apareció el pequeño planeta por el otro lado del sol, los astrónomos lo encontraron cuando y donde les había dicho Gauss.
Después de este triunfo, las sociedades cultas cubrieron de honores a Gauss. En 1807 aceptó la dirección del observatorio en su propia alma mater, la Universidad de Göttingen, Alemania. Allí presidió la comunidad matemática de Europa hasta su muerte unos cincuenta años después. Mientras tanto, no obstante, no publicó jamás nada acerca de una extraña idea geométrica que le había fascinado desde su juventud precoz. Ésta e a un pensamiento afín al concepto de un espacio curvo. Gauss creía que las nuevas formas de geometría bidimensional podían desarrollarse a partir de un extraño axioma nuevo, el de que por un punto exterior a una línea dada se puede trazar más de una línea paralela a dicha línea. Dicho axioma iba totalmente en contra de Euclides y del sentido común, a la proposición que, por un punto exterior a una recta una y tan sólo una línea, puede trazarse paralela a aquélla. No obstante, en sus últimos años Gauss vio aplicar su idea de las reglas no-euclidianas del paralelismo a sectores del espacio curvo.
Mientras que Gauss anticipó el cataclismo de la geometría, otros lo llevaron a cabo. En 1832 recibió una carta de un viejo amigo de colegio, Farkas Bolyai, que quería la opinión de Gauss sobre las ideas poco ortodoxas de su hijo Janos. Al abandonar el postulado de Euclides relativo al paralelismo, Janos había construido un tipo de geometría no-euclidiana que denominamos en la actualidad «hiperbólica», una geometría que puede utilizarse para describir las propiedades de las figuras en una superficie en forma de trompeta, en oposición a la superficie plana de Euclides.
A la pregunta del señor Bolyai, Gauss contestó que el joven Janos tenía una excelente idea, pero, por haberla ponderado durante muchos años, no podía elogiarla sin vanagloriarse.

Janos Bolyai se descorazonó comprensiblemente ante esta respuesta y, cuando se enteró inmediatamente después que el matemático ruso Nikolai Lobachevsky había tenido también la idea de la geometría no-euclidiana, abandonó las matemáticas.

4. Dimensiones de la cuarta a la enésima
El siguiente joven innovador no-euclidiano que llegó hasta Gauss lo pasó mucho mejor. Éste fue Bernhard Riemann, quien estudió bajo la dirección de Gauss en Góttingen. Cuando estuvo a punto de dar su conferencia de iniciación como profesor, sometió, según la tradición, tres posibles temas. En el caso especial de Riemann, Gauss pasó por alto los dos primeros y pidió que Riemann conferenciara sobre su tercer tema. Este tema era nuevo, repleto de controversias y de peligros y sin euclidianismos. Pero después de un trabajo intensivo Riemann dio una conferencia en la facultad de Filosofía de Góttingen en la que sin utilizar ni una sola figura o fórmula, propugnó un concepto radicalmente nuevo de la estructura del espacio geométrico. Probablemente nadie lo comprendió, pero, para Gauss, Riemann iba encaminado a los mundos de la cuarta, quinta, sexta y enésima dimensiones.
La geometría de Riemann de muchas dimensiones, así como es difícil de apreciar en términos visuales, es bastante fácil de concebir cómo una posibilidad abstracta: como una simple progresión a partir de una línea en el espacio unitario de la longitud, a un plano en el espacio «bidimensional» de anchura y longitud, a un sólido en el espacio «tridimensional» de altura, anchura y profundidad, y de aquí a espacios de más dimensiones, por ejemplo, de altura, anchura, profundidad y tiempo.
Para poner su idea multidimensional en órbita, Riemann, apoyándose en parte en conceptos desarrollados por Gauss, generalizó las propiedades de las curvas y superficies de forma tal que pudieron aplicarse a los espacios. Puede obtenerse una apreciación del noble vuelo mental de Riemann a partir de un solo ejemplo detallado referente a la muy importante propiedad geométrica de la «curvatura». La curvatura de una curva es la proporción en que curva. Una medida de esta proporción es la medida del círculo oscilador en un punto. Si el círculo que más se acerca a la curva en este punto es muy pequeño, entonces la curva se cierra poco a poco y tiene una pequeña curvatura.
La curvatura de una superficie se define casi de la misma forma que la curvatura de una curva. En cualquier punto de una superficie la curvatura no tiene por qué ser la misma en todas direcciones. Una montaña, por ejemplo, tiende a disminuir su pendiente en proporciones distintas. La cúspide, no obstante, puede interpretarse como el punto de intersección de un número infinito de curvas que ascienden por un lado y descienden por el otro. En la cúspide una de estas curvas tendrá una curvatura superior que las demás y otra tendrá una curvatura inferior a las otras. Gauss había averiguado que la curvatura en un punto cualquiera de la superficie puede definirse útilmente como el producto de las curvaturas mayor y menor de todas las líneas que constituyen la superficie en aquel punto. Este producto se llama en la actualidad «la curvatura gaussiana».
Si un punto en una superficie está situado en el equivalente a un puerto de montaña en donde el terreno, hacia el este y oeste se inclina hacia arriba, y el terreno al norte y al sur se inclina hacia abajo, entonces el mínimo de curvatura hacia abajo es una curvatura hacia arriba, en otras palabras, una curvatura negativa hacia abajo. Por la definición de Gauss, la superficie de curvatura en un punto del puerto debe ser el producto de una negativa y una positiva - por lo tanto negativa -. Un ejemplo de una superficie con curvatura negativa es la silla de montar del Oeste de los Estados Unidos. Una superficie de curvatura positiva es una que siempre da vueltas para encontrarse a sí misma, como la cáscara de un huevo.

Gauss había encontrado también que la curvatura de una superficie puede definirse no sólo en términos de una persona que mira a la superficie desde el exterior sino equivalente en términos de mediciones realizadas dentro de la delgada superficie propiamente. Riemann amplió esta última idea acerca de la curvatura de la superficie hasta dar una descripción matemática exacta de la curvatura del espacio. Al realizar este aterrador pensamiento abstracto, se apoyó en gran parte en un análisis exhaustivo que realizó utilizando la red de referencias de los sistemas coordinados. En el sistema cartesiano, las líneas de referencia son líneas rectas en un plano. En la esfera de la tierra las líneas de referencia son las de la latitud y longitud. En un huevo pudieran ser círculos, en una dirección, y óvalos en la otra. En el reflector de un faro de carretera de un coche, pudieran ser círculos en una dirección y parábolas en la otra.
Riemann se dio cuenta de que toda superficie o espacio de su geometría superior podía trazarse por medio de distintas redes de curvas de referencia. Y halló que las ecuaciones escritas en términos de un sistema de coordenadas a menudo podían ser ampliamente simplificadas al escribirse en términos de un conjunto distinto de curvas de referencia. Uno de los más prácticos conjuntos de curvas de referencia está formado por las llamadas «geodésicas». Una geodésica es simplemente el camino de la distancia más corta entre dos puntos. En un espacio plano una geodésica es un segmento de línea recta. En una esfera es un arco de un círculo máximo análogo al que siguen los jets intercontinentales. En una superficie irregular en forma de lámpara o en un espacio curvo, prácticamente puede ser cualquier tipo de curva. Al manipular ecuaciones diferenciales elaboradas para minimizar las distancias, Riemann halló que podía trazar redes geodésicas de líneas de referencia y seguir la curvatura de cualquier espacio desde tres dimensiones hasta n dimensiones.

En esta atrevida geometría, Riemann pareció prescindir del sentido común, pero el arte del análisis ganó mucho en destreza. Al igual que en el enlace entre el álgebra y la geometría plana realizado por Descartes, las ecuaciones con muchas variables encuentran ahora sus correspondientes geométricos, y los nuevos símbolos de la geometría superior se convirtieron en útiles colaboradores de las ecuaciones. Y en todo momento las ideas en la parte inferior de todo el marco de elaboración eran simples como las de curvatura: definiciones realistas que demostraron tener validez en el mundo tangible de reducida dimensionalidad.
Gauss murió en 1855, poco después que naciera la geometría multidimensional. Pero las ideas que se habían incubado en su mente durante 50 años fueron desarrolladas por Riemann y sus sucesores, para convertirse en los métodos prácticos que manejara Einstein 50 años después al dar al hombre moderno orientaciones sobre la estructura del universo.

Matemáticas David Bergamini Colección cientifica de Time-Life