Sin pretensiones de profundizar prematuramente en el campo numérico vamos a exponer las leyes formales, de la suma y la multiplicación, ya que las demás operaciones fundamentales pueden explicarse como a partir de estas. Conviene ir adaptando la mentalidad del principiante al carácter formal (abstracto) de estas leyes, pues ello contribuirá a la comprensión de los problemas que ulteriormente le plantearan las matemáticas superiores. Por otra parte, el conjunto de estas leyes formales constituirá una definición indirecta de los números reales y de las operaciones fundamentales. Estas leyes que no requieren demostración, pues son de aprehensión inmediata, se llaman axiomas.
Igualdad
I .Axioma de identidad: a =a.
II .Axioma de reciprocidad: si a=b, tenemos que b=a.
III. Axioma de transitividad: si a=b y b=c, tenemos que a = c.
Suma o adición
I. Axioma de uniformidad: la suma de dos números es siempre igual, es decir única: así, si a =b y c =d, tenemos que a+c = b+d.II. Axioma de conmutividad: a+b = b +a.
III. Axioma de asociatividad: (a+b)+c = a+ (b+c)
IV.- Axioma del elemento neutro: Hay un número y solo un número el cero, de modo que a + 0 =0+a = a, para cualquier valor de a, de ahí que el 0 reciba el nombre de elemento neutro de la suma.
Multiplicación.
I.-Axioma de uniformidad: el producto de dos números es siempre igual, es decir , único, así si a=b y c =d, tenemos que ac =bd.
II.- Axioma de conmutatividad: ab =ba.
III.-Axioma de asociatividad: (ab)c = a (bc).
IV.- Axioma de distributividad: con respecto a la suma tenemos que a (b+c)=ab +ac.
V.-Axioma del elemento neutro de la multiplicación.-Hay un número y solo un número, el uno (1), de modo que a x 1 = 1 x a = a, para cualquier valor de a.
VI.-Axioma del elemento inverso.- para todo número real a ≠ 0 (a distinto de cero) corresponde un número real, y solo uno x, de modo que ax =1. Este número x se llama inverso o reciproco de a y equivale a $\frac{1}{a}$.
Axiomas de orden.
I.- Tricotomía: Si tenemos dos números reales a y b sólo puede haber una relación y solo una entre ambos, que a > b ; a= b o a < b.
II.- Monotonía de la suma: Si a > b y c > 0 tenemos que a +c > b+c.
III.- Monotonía de la multiplicación: si a > b y c > 0 tenemos que ac > bc.
Axioma de continuidad
1. Si tenemos dos conjuntos de números reales A y B, de modo
que todo número de A es menor que cualquier número de B, existirá siempre un
número real c con el que se verifique $a\leq c \leq b $, en que a es un número
que está dentro del conjunto A, y b es un número que esta dentro del conjunto
de B.
Operaciones fundamentales con los números relativos
Suma de números relativos
En la suma o adición de números relativos podemos considerar
cuatro casos: sumar dos números positivos; sumar dos números negativos; sumar
un positivo con otro negativo, y sumar el cero con un número positivo o negativo.
1).-Suma de dos números positivos
Regla
Para sumar dos números positivos se procede a la suma
aritmética de los valores de ambos números y al resultado obtenido se le
antepone el signo +. Así tenemos:
(+4) + (+2)= (+6)
2) Suma de dos números negativos
Regla para sumar dos números negativos se procede a la suma
aritmética de los valores absolutos de ambos, y al resultado obtenido se le
antepone el signo -. Así tenemos:
(-4) + (-2)= (-6).
3) Suma de un número positivo y un número negativo
Regla
Para sumar un número positivo y un número negativo se
procede a hallar la diferencia aritmética de los valores de ambos números y
al resultado obtenido se le pone el
signo del número mayor. Cuando los dos números tienen igual valor absoluto y
signos distintos la suma es 0. Así tenemos
(+6 )+ (-2 )= (+4)
(-6)+ (+2)= (-4)
(-6)+ (+6)= 0
(+6)+ (-6)=0
4).-Suma de cero y un número positivo o negativo.
Regla
La suma de cero con cualquier número positivo o negativo nos
dará el mismo número positivo o negativo.
Así tenemos (+4) +
0 = (+4)
(-4)+ 0 = -4.
En general :
a + 0 = 0 + a = a.
En que a puede ser negativo, positivo o nulo.
Sustracción de números relativos.
Llamamos opuesto de un número al mismo número con signo
contrario. Así decimos que - m es
opuesto de + m.
Ya vimos en un caso que de la suma que:
(+m) + (-m) = 0.
La sustracción es una operación inversa de la suma que
consiste en hallar un número x (llamado
diferencia), tal que sumado con un número dado
m, dé un resultado igual a otro número n, de modo que se verifique:
X + m = n
(1)
Llamando m’ al opuesto de m, podemos determinar la
diferencia x, sumando en ambos miembros de la igualdad (1) el número m ’ en
efecto
x + m + m’ =n + m’
(2)
Si observamos el primer miembro de esta igualdad (2) veremos
que aplicando el axioma de asociatividad
tenemos m + m’ =0 y como x + 0 = x , tendremos
x = n +m’
(3)
que es lo que queríamos demostrar, es decir que para hallar
la diferencia entre n y m basta sumarle el opuesto de m (osea m’). Y como hemos
visto que para hallar el opuesto de un número basta cambiarle de signo, podemos
enunciar la siguiente
Regla
Para hallar la diferencia entre dos números relativos se
suma al minuendo el sustraendo, cambiando el signo
Así:
(+8) - (+4) = (+8) + (-4) = +4
(+8)- (-4) = (+8)+ (+4)= + 12
(-8)- (+4)= (-8)+ (-4) = -12
(-8)- (-4)= (-8)+ (+4)= -4
Multiplicación de números relativos
Regla
El producto de dos números
negativos se halla multiplicando los valores absolutos de ambos. El producto
hallado llevara signo positivo (+), si
los signos de ambos factores son iguales; llevará signo negativo (-), si los
factores tienen signos distintos. Si uno de los factores es 0 el producto será 0.
Cuando operamos con símbolos
literales el producto es siempre indicado, bien en la forma a x b; bien en la
forma a· b; y más usualmente ab.
Así:
(+2)(+3)= +6
(-2)(-3)= +6
(+2)(-3)= -6
(-2)(+3)= -6
(0) (+3) = 0
(0)(-3)= 0
(0)(0)= 0
El siguiente cuadro es un medio de
recordar fácilmente la ley de los signos en la multiplicación de los números
relativos.
Potencia de números relativos
Llamamos potencia de un número
relativo al producto de tomarlo como factor tantas veces como se quiera. Si a
es un número relativo cualquiera y n>
1 es un número natural, tendremos la notación $a^n$, que se lee a elevado a la enésima
potencia, e indica que a debe tomarse como factor n veces : así
Ejemplo:
$4^5$ = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1024
En este ejemplo 4 es la base y 5
el exponente.
Regla
la potencia de un número positivo es siempre positiva. La potencia de número negativo será positiva si el exponente es entero y par; negativa si el exponente es entero e impar.
la potencia de un número positivo es siempre positiva. La potencia de número negativo será positiva si el exponente es entero y par; negativa si el exponente es entero e impar.
Producto de dos potencias de igual
base.
Regla
Para multiplicar dos potencias de
igual base, se eleva dicha potencia a la base que resulte de la suma de los
expontentes respectivos. Ejemplo:
$a^n \cdot{a^2} = a^{n+2}$
$(3)^2 \cdot{(3)^4}=(3)^{2+4} = 3^6
=729$
Potencia de una potencia
Regla
Para hallar la potencia de una
potencia se multiplican los expontentes y se mantiene la base : Ejemplo:
$(a^n)^n= a^ {n\cdot{n}}=
a^{n^2}$
$(-2^2)^3 = -2^ {2\cdot{3}}= -2^6
= 64$
Hay que poner especial cuidado en
no confundir la potencia de una potencia, con la elevación de un número a una potencia cuyo exponente, a la vez está
afectado por otro exponente. Así, no es lo mismo $(4^2)^3$ que $4^{2^{3}}$. Ejemplo:
$(4^2)^3 =
4^{\cdot{2\cdot{3}}}=4^6 = 4096$
$4^{2^{3}} =
4^{\cdot{2\cdot{2\cdot{2}}}}=4^8=65536$
Radicación de números relativos
Ya vimos, al tratar de las leyes
formales de la multiplicación que de acuerdo con el axioma VI (existencia del
inverso) , a todo número real $a\neq 0$
corresponde un número real y solo uno x,
de modo que ax=1; Este número x se llama inverso o reciproco de a, y se
representa por 1/a.
El inverso o reciproco de un número relativo cualquiera distinto de
cero tiene su mismo signo.
El inverso de +4 es $+\frac{1}{4}$
El inverso de -4 es $-\frac{1}{4}$
El inverso de $-\sqrt[]{3}$ es $ -\frac{1}{\sqrt[]{3}}$
El inverso de $+ \frac{1}{2}$ es +2.
La división es una operación
inversa de la multiplicación que consiste en hallar uno de los factores,
conocidos el otro factor y el producto. Es decir siendo el dividendo $d$ y el divisor $d’$ hallar el cociente c, de modo que se
verifique $d´c = d$.
Recordemos que esta operación solo es posible si $d´$ es distinto de cero.
Aplicando el axioma de existencia
del inverso tenemos que:
1/d´ (d´)c= 1/d´ d
Sabemos que $ 1/d' (d´c)= (1/d'
d')c = (+1)c =c.$
Eliminando queda c =1/d´ d.
De lo cual deducimos la siguiente
regla
Para dividir un número cualquiera
d por otro número distinto de cero d´ multiplicamos d por el reciproco de d´ (1/ d´).
El cociente que resulte será positivo si los dos números son del mismo signo: y
negativo, si son de signos contrarios.
Con el siguiente cuadro podemos
recordar fácilmente la ley de los signos
de la división con números relativos.
Ahora que estudiamos la división,
podemos enunciar tres casos de la elevación a potencia de un número cualquiera.
1) Si un número cualquiera $ a
\neq 0$ , se eleva a la potencia 0 es igual a +1. Así;
$a^0 = +1$
$3^0 = +1$
2) Si un número cualquiera $ a
\neq 0$, se eleva a un exponente negativo cualquiera –m es igual al reciproco
de la potencia $a^m$ de exponente
positivo así
$a^{-m} =\frac{1}{a^m}$
$3^{-2} =\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$
3) La división de dos potencias de igual base es igual a la
base elevada a la potencia que dé la
diferencia de ambos exponentes. Así:
$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
$\frac{3^4}{3^2}=3^{4-2}=3^2 = 9$
Uniformidad de las operaciones
naturales con números relativos
Hemos visto en las operaciones
estudiadas a saber: suma, resta, multiplicación, potenciación y división, que
se cumple en todas ellas el axioma de la uniformidad. Quiere esto significar que cuando sometemos dos números
relativos a cualquiera de las
operaciones mencionadas, el resultado es uno y solo uno, es decir único. Sin
embargo, cuando extraemos la raíz cuadrada de un número positivo, tenemos un
resultado doble. Pues como veremos, al estudiar la extracción de las raíces, un
número positivo cualquiera, al extraérsele una raíz de grado par siempre tendrá
dos resultados o raíces una positiva y otra negativa.
Así $\sqrt[]{+a}=
\pm a$ del mismo modo que
$\sqrt[]{+64}= \pm 8$
