jueves, 2 de enero de 2014

¿Es Dios un Matemático? Mario Livio 2009 Capitulo III Magos: El maestro y el hereje

A diferencia de los Diez Mandamientos, la ciencia no se entregó a la humanidad en unas imponentes tablas de piedra. La historia de la ciencia es la historia del auge y caída de numerosas especulaciones, hipótesis y modelos. Muchas ideas aparentemente ingeniosas resultaron ser disparos de fogueo o conducir a callejones sin salida. Algunas teorías que en su momento se consideraban blindadas acabaron por disolverse en la nada tras pasar por la cruel prueba de los sucesivos experimentos y observaciones y quedar totalmente obsoletas. Ni siquiera la mente formidable de los creadores de algunas de estas ideas erróneas les proporcionó inmunidad para impedir que fueran sustituidas por otras. El gran Aristóteles (384-322 a.C.), por ejemplo, pensaba que las piedras, las manzanas u otros objetos pesados caían porque buscaban su lugar natural, que se encontraba en el centro de la Tierra. Al acercarse al suelo, sostenía Aristóteles, estos cuerpos aumentaban su velocidad porque estaban felices de regresar a casa. Por el contrario, el aire (y el fuego) se movían hacia arriba porque el lugar natural del aire eran las esferas celestiales. A todos los objetos se les podía asignar una «naturaleza» en función de la relación percibida con los constituyentes más básicos: tierra, fuego, aire y agua. En palabras de Aristóteles:
Algunas cosas son por naturaleza, otras por otras causas. Por naturaleza son … los cuerpos simples como la tierra, el fuego, el aire y el agua… Todas estas cosas parecen diferenciarse de las que no están constituidas por naturaleza, porque cada una de ellas tiene en sí misma un principio de movimiento y de reposo … Porque la naturaleza es un principio y causa del movimiento o del reposo en la cosa a la que pertenece primariamente … Se dice que son «conforme a naturaleza» todas esas cosas y cuanto les pertenece por sí mismas, como al fuego el desplazarse hacia arriba.[59]
Aristóteles intentó incluso formular una ley del movimiento cuantitativa. Afirmó que los objetos más pesados caen más deprisa, y su velocidad es directamente proporcional al peso (es decir, se suponía que un objeto dos veces más pesado que otro debía caer al doble de velocidad). Aunque nuestra experiencia cotidiana puede hacernos creer que esta «ley» parece razonable (se ha observado que un ladrillo llega al suelo antes que una pluma al dejar caer ambos desde la misma altura), Aristóteles no se preocupó de examinar con precisión su afirmación cuantitativa. De algún modo, nunca se le ocurrió (o quizá no consideró que fuese necesario) comprobar si dos ladrillos atados entre sí caían realmente el doble de rápido que un solo ladrillo. Galileo Galilei (1564-1642), con un espíritu matemático y experimental mucho más acentuado y con no demasiado respeto por el nivel de «felicidad» de los ladrillos y las manzanas que caen, fue el primero en señalar el craso error de Aristóteles.
Mediante un astuto «experimento mental», Galileo mostró que la ley de Aristóteles no tenía ningún sentido, porque era incoherente desde el punto de vista lógico.[60] Su argumentación era la siguiente: supongamos que atamos entre sí dos objetos, uno más pesado que el otro. ¿Con qué velocidad caerá el objeto combinado en comparación con la de cada uno de sus componentes? Por un lado, según la ley de Aristóteles, se puede llegar a la conclusión de que caería a una velocidad intermedia, ya que el objeto ligero reduciría la velocidad del más pesado. Por otro lado, sin embargo, el objeto combinado es más pesado que sus dos componentes, por lo que debería caer aún más rápido que el más pesado de los dos, lo cual lleva a una clara contradicción. El único motivo por el que una pluma cae con más suavidad que una tonelada de ladrillos es que la pluma experimenta una resistencia mayor del aire; si se dejan caer desde la misma altura en el vacío, ambos llegarán simultáneamente al suelo. Este hecho ha quedado demostrado en numerosos experimentos, y el más espectacular de ellos lo llevó a cabo el astronauta del Apolo 15 David Randolph Scott, la séptima persona en caminar por la superficie de la Luna. Scott dejó caer simultáneamente un martillo desde una mano y una pluma desde la otra. Puesto que la Luna carece de una atmósfera sustancial, el martillo y la pluma golpearon la superficie lunar al mismo tiempo.
Lo más sorprendente de la falaz ley de movimiento de Aristóteles no es que fuese falsa, sino que ¡había sido aceptada durante más de dos mil años! ¿Cómo pudo disfrutar de tan notable longevidad una idea errónea? Se trataba de un caso de «tormenta perfecta»: tres fuerzas distintas combinadas para crear una doctrina incuestionable. En primer lugar tenemos el hecho de que, en ausencia de medidas precisas, la ley de Aristóteles parecía estar de acuerdo con el sentido común y la experiencia: las hojas de papiro tienden a flotar en el aire mientras que no lo hacen los pedruscos de plomo. En segundo lugar tenemos el colosal peso de la inigualable reputación de Aristóteles y su autoridad como erudito. Después de todo, estamos hablando de la persona que estableció los cimientos de una gran parte de la cultura intelectual de Occidente. Ya fuese en la investigación de los fenómenos naturales o los fundamentos de la ética, la metafísica, la política o el arte, Aristóteles escribió, literalmente, el primer libro. Y la cosa no acababa ahí. En cierto sentido, Aristóteles también nos enseñó cómo pensar, al iniciar los primeros estudios formales de la lógica. En nuestros días, casi todos los niños en las escuelas reconocen el cuasi-completo sistema de inferencia lógica de Aristóteles, denominado silogismo:[61]
Todos los griegos son personas.
Todas las personas son mortales.
Todos los griegos son mortales.
El tercer motivo de la increíble capacidad de permanencia de la teoría incorrecta de Aristóteles era que la iglesia cristiana adoptó su teoría como parte de la ortodoxia oficial, lo que actuó como agente disuasorio contra cualquier intento de cuestionar las afirmaciones de Aristóteles.
A pesar de sus impresionantes contribuciones a la sistematización de la lógica deductiva, definitivamente las matemáticas no eran el fuerte de Aristóteles. Es sorprendente que el hombre que, en esencia, estableció la ciencia como disciplina organizada, no le diera demasiada importancia a la matemática (desde luego, mucha menos que Platón), y la física no se le diera muy bien. Aunque Aristóteles reconocía la importancia de las relaciones numéricas y geométricas en la ciencia, consideraba la matemática como una disciplina abstracta, apartada de la realidad física. Por consiguiente, aunque no cabe duda de que Aristóteles era una potencia intelectual, no entraría en mi lista de «magos».

Utilizo aquí la palabra «mago» para referirme a las personas capaces de sacar conejos de chisteras literalmente vacías; aquellas que descubrieron conexiones nunca antes imaginadas entre la matemática y la naturaleza; aquellas que, al observar fenómenos complejos, fueron capaces de destilar de ellos precisas leyes matemáticas. En algunos casos, estos pensadores de un nivel superior utilizaron incluso sus experimentos y observaciones para hacer avanzar la matemática. La cuestión de la colosal eficacia de la matemática para explicar la naturaleza no hubiese surgido jamás de no haber sido por estos «magos». Este enigma nació directamente de la milagrosa inspiración de estos investigadores.
Ningún libro puede hacer realmente justicia a estos soberbios científicos y matemáticos que han contribuido a nuestra comprensión del universo. En este capítulo y el siguiente tengo previsto centrarme en cuatro de estos gigantes de siglos pretéritos, cuyo estatus de «mago» no puede cuestionarse; la crème de la crème del mundo científico. Al primero de los «magos» de mi lista se le recuerda por un hecho insólito: ¡por atravesar corriendo completamente desnudo las calles de su ciudad!

 Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo

Cuando el historiador de la matemática E. T. Bell tuvo que decidir a quién situaba en su lista de «los tres mejores matemáticos», su conclusión fue:

En cualquier lista de los tres mejores matemáticos de la historia debe aparecer el nombre de Arquímedes. Los otros dos que suelen acompañarle suelen ser Newton (1643-1727) y Gauss (1777-1855). Considerando la abundancia (o escasez) relativa de matemáticos y científicos en las respectivas épocas en los que estos dos gigantes vivieron y tomando en consideración sus logros en el contexto de su época, algunos pondrían a Arquímedes en el primer lugar.[62]
Arquímedes (287-212 a.C; en la figura 10 se muestra un busto que, según se dice, representa a Arquímedes, pero que podría corresponder en realidad a un rey de Esparta) era, efectivamente, el Newton o Gauss de su época. Una persona tan brillante, imaginativa e inspirada que tanto sus contemporáneos como las generaciones que lo sucedieron mencionaban su nombre con respeto y admiración. Aunque se le conoce sobre todo por sus ingeniosos inventos en el campo de la ingeniería, Arquímedes era sobre todo matemático, y en esta disciplina se hallaba siglos por delante de su época. Por desgracia, apenas hay información acerca de los primeros años de su vida y de su familia. En su primera biografía, escrita por un tal Heráclides,[63] no ha llegado hasta nuestros días, y los escasos detalles que sabemos sobre su vida y su violenta muerte proceden principalmente de los escritos del historiador romano Plutarco. Plutarco (ca. 46-120 d.C.) estaba, de hecho, más interesado en los logros militares del general romano Marcelo, que conquistó la ciudad natal de Arquímedes, Siracusa, en 212 a.C.[64] Por suerte para la historia de la matemática, Arquímedes dio tantos problemas a Marcelo durante el sitio de Siracusa que los tres principales historiadores de ese período —Plutarco, Polibio y Livio— tuvieron que hablar de él.
Arquímedes nació en Siracusa, en aquellos tiempos un enclave griego en Sicilia.[65] Según su propio testimonio, era hijo del astrónomo Fidias, sobre el que se tiene escasa información salvo que había hecho una estimación de los diámetros del Sol y de la Luna. Arquímedes podría también estar emparentado de algún modo con el rey Hierón II, que a su vez era hijo ilegítimo de un noble y de una de sus esclavas. Independientemente de los lazos de parentesco que tuviese con la familia real, tanto el rey como su hijo, Gelón, tuvieron siempre a Arquímedes en muy alta consideración. En su juventud, Arquímedes pasó un tiempo en Alejandría, en donde estudió matemáticas, antes de regresar a Siracusa para dedicarse en cuerpo y alma a la investigación.[66]
Arquímedes era un matemático de la cabeza a los pies. Según Plutarco, consideraba sórdido e innoble «cualquier arte que sirviese meramente para el uso y el provecho, y su ambición se limitaba a aquello que, por su belleza y su excelencia, permaneciese al margen de las necesidades más comunes de la vida». La constante preocupación de Arquímedes por la matemática abstracta y la atención que le dedicaba hasta llegar a consumirle iba, al parecer, mucho más allá del entusiasmo habitual entre los practicantes de esa disciplina. Citando de nuevo a Plutarco:
Hechizado por la sirena que le acompañaba a todas partes, se olvidaba de comer y de los cuidados más básicos; y, cuando se veía forzado a bañarse y ungirse, solía dibujar figuras geométricas en las cenizas o, con los dedos, trazaba líneas sobre su cuerpo ungido, poseído por un sublime éxtasis y, en verdad, esclavizado por las musas.
A pesar de su desprecio por la matemática aplicada y la poca importancia que concedía a sus propias ideas sobre ingeniería, sus ingeniosos inventos le supusieron una mayor celebridad a nivel popular que su genio matemático.
La leyenda más conocida sobre Arquímedes resalta aún más su imagen arquetípica de matemático despistado. Este divertido relato fue narrado por primera vez por el arquitecto romano Vitruvio en el siglo I d.C., y dice así: el rey Hierón quería consagrar una corona de oro a los dioses inmortales. Cuando el rey recibió la corona acabada, su peso era igual al del oro entregado para su creación. Sin embargo, el rey sospechaba que una cierta cantidad de oro había sido sustituida por el mismo peso en plata. Incapaz de corroborar sus sospechas, el rey pidió consejo al maestro de los matemáticos: Arquímedes. Un día, prosigue la leyenda, Arquímedes, que seguía enfrascado en la resolución del problema del posible fraude de la corona, fue a bañarse. Mientras se sumergía en el agua de la bañera, se dio cuenta de que su cuerpo desplazaba un cierto volumen de agua, que desbordaba por encima de la bañera, y en su mente vio la solución.[67] Sin poder contener su alborozo, Arquímedes saltó de la bañera y salió corriendo desnudo por las calles al grito de ¡Eureka! ¡Eureka! («¡Lo encontré! ¡Lo encontré!»).
Otra de las famosas máximas arquimedianas, «Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo», aparece actualmente, en distintas versiones, en más de 150.000 páginas web de acuerdo con los resultados de Google. Esta osada afirmación, que parece algo así como el lema de una gran corporación, ha sido citado en discursos de Thomas Jefferson, Mark Twain y John F. Kennedy, y hasta en un poema de Lord Byron.[68] Al parecer, la frase era la culminación de los estudios de Arquímedes sobre el problema de mover un peso determinado con una fuerza determinada. Según Plutarco, cuando el rey Hierón solicitó ver una demostración práctica de la capacidad de Arquímedes para manejar un peso muy grande con una fuerza muy pequeña, Arquímedes se las arregló, mediante una polea compuesta, para botar un barco con toda su carga. Plutarco agrega, admirado, que «movió el barco con suavidad y seguridad, como si estuviese navegando por el mar». En otras fuentes se pueden encontrar versiones ligeramente distintas de esta misma leyenda. Aunque es difícil creer que Arquímedes fuese capaz de desplazar un barco entero con los aparatos mecánicos de los que disponía, las leyendas no dejan lugar a dudas sobre una impresionante demostración de un invento que le permitía maniobrar grandes pesos.
Aunque Arquímedes es el responsable de muchos inventos pacíficos, como un tornillo hidráulico para elevar agua y un planetario que mostraba los movimientos de los cuerpos celestes, en la Antigüedad se hizo célebre por su intervención en la defensa de Siracusa contra los romanos.
A los historiadores siempre les han gustado las guerras. Por tanto, los hechos del sitio romano de Siracusa durante los años 214-212 a.C. aparecen descritos con todo lujo de detalles en las crónicas de diversos historiógrafos. El general romano Marco Claudio Marcelo (ca. 268-208 a.C.), cuya fama militar era notable en aquellos días, preveía una victoria rápida. Pero lo que al parecer no tuvo en cuenta fue la testarudez del rey Hierón, ayudado por un genio de la matemática y la ingeniería. Plutarco ofrece una vivida descripción del caos que las máquinas de Arquímedes provocaron en las huestes romanas:
Al ejército, [disparó Arquímedes] con armas arrojadizas de todo género y con piedras de una mole inmensa, despedidas con increíble violencia y celeridad, las cuales no habiendo nada que resistiese a su paso, obligaban a muchos a la fuga y rompían la formación. En cuanto a las naves, a unas las asían por medio de grandes maderos con punta, que repentinamente aparecieron en el aire saliendo desde la muralla, y, alzándose en alto con unos contrapesos, las hacían luego sumirse en el mar, y a otras, levantándolas rectas por la proa con garfios de hierro semejantes al pico de las grullas, las hacían caer en el agua por la popa, o atrayéndolas y arrastrándolas con máquinas que calaban adentro las estrellaban en las rocas… A veces hubo nave que suspendida en alto dentro del mismo mar, y arrojada en él y vuelta a levantar, fue un espectáculo terrible hasta que estrellados o expelidos los marineros, vino a caer vacía sobre los muros, o se deslizó por soltarse el garfio que la asía.
El miedo a los dispositivos de Arquímedes llegó hasta tal punto que «si [los soldados romanos] veían la sombra de un trozo de cuerda o un madero sobre una pared, gritaban horrorizados “ahí está de nuevo”, refiriéndose a que Arquímedes estaba lanzando contra ellos alguno de sus ingenios, y se daban media vuelta y salían huyendo». El propio Marcelo, profundamente impresionado, se quejaba a su equipo de ingenieros militares: «¿Es que nunca terminaremos de luchar contra este Briareo [el gigante de cien brazos hijo de Urano y Gea] de la geometría que, sentado junto al mar, juega al tejo con nuestros barcos para confundirnos y, por las armas arrojadizas que lanza contra nosotros, supera a los gigantes de cien brazos de la mitología?».
Según otra leyenda popular que hizo su primera aparición en los escritos del gran médico griego Galeno (ca. 129-200 d.C.), Arquímedes utilizó un conjunto de espejos que enfocaban los rayos del Sol para quemar los barcos romanos.[69] El arquitecto bizantino del siglo VI Antemio de Tralles y varios historiadores del siglo XII repitieron esta historia fantástica, aunque la viabilidad de tamaña proeza sigue siendo incierta. Aun así, el número de relatos cuasi-mitológicos nos proporciona un abundante testimonio de la veneración que «el sabio» inspiró en las generaciones posteriores.
Como ya he mencionado, Arquímedes (ese «Briareo de la geometría» tan altamente considerado) no tenía en demasiada consideración sus juguetes militares; más bien los veía como diversiones geométricas. Por desgracia, esa actitud distante podría finalmente haberle costado la vida. Cuando los romanos capturaron por fin Siracusa, Arquímedes estaba tan absorto dibujando sus diagramas geométricos en una bandeja de arena que apenas prestó atención al tumulto de la batalla. Según algunas narraciones, cuando un soldado romano ordenó a Arquímedes que lo siguiera para presentarlo ante Marcelo, el anciano geómetra repuso indignado: «Apártate de mis diagramas».[70] Esta respuesta encolerizó al soldado hasta tal punto que, desobedeciendo las órdenes expresas de su superior, desenvainó su espada y dio muerte al mayor matemático de la Antigüedad.

La figura 11 muestra lo que se considera una reproducción del siglo XVIII de un mosaico hallado en Herculano en el que se representan los últimos momentos de la vida del «maestro».
En cierto sentido, la muerte de Arquímedes marcó el final de una era de extraordinaria vitalidad en la historia de las matemáticas. Tal como señaló el matemático y filósofo británico Alfred North Whitehead:
La muerte de Arquímedes a manos de un soldado romano es el símbolo de un cambio de primera magnitud a nivel mundial. Los romanos fueron un gran pueblo, pero estaban condenados por la esterilidad que se deriva del sentido práctico. No eran soñadores que alcanzasen nuevos puntos de vista para llegar a un control más fundamental de las fuerzas de la naturaleza. Ningún romano perdió nunca la vida por estar absorto en la contemplación de un diagrama matemático. (La cursiva es mía).[71]
Por suerte, aunque los detalles acerca de la vida de Arquímedes escasean, muchos (aunque no todos) de sus increíbles escritos han sobrevivido. Arquímedes tenía la costumbre de enviar notas sobre sus descubrimientos matemáticos a algunos matemáticos amigos suyos o a personas que le merecían respeto. Esta exclusiva lista de corresponsales incluía, entre otros, al astrónomo Conón de Sanios, al matemático Eratóstenes de Cirene y al hijo del rey, Gelón. Tras la muerte de Conón, Arquímedes envió algunas notas al pupilo de aquél, Dositeo de Pelusio.
La obra de Arquímedes abarca una asombrosa variedad dentro de la matemática y la física.[72] Estos son algunos de sus numerosos logros: ideó métodos generales para hallar las áreas de diversas figuras planas y los volúmenes limitados por todo tipo de superficies curvas, entre los que se encontraban las áreas del círculo, el segmento de parábola y la espiral, y los volúmenes del segmento de cilindro, de cono y de otras figuras generadas por la rotación de parábolas, elipses e hipérbolas; demostró que el valor del número π, la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, debía ser mayor que 3 10/71 y menor que 3 1/7; en una época en la que no existía método alguno para describir los números muy grandes inventó un sistema que le permitía, no sólo escribir, sino también manipular, números de cualquier magnitud. En física, Arquímedes descubrió las leyes que gobernaban el comportamiento de los cuerpos flotantes, estableciendo así la ciencia de la hidrostática. Además, calculó los centros de gravedad de muchos sólidos y formuló las leyes mecánicas de las palancas. En astronomía, efectuó observaciones para medir la longitud del año y las distancias a los planetas.
Los trabajos de muchos matemáticos griegos se caracterizaron por su originalidad y su atención a los detalles. Sin embargo, los métodos de razonamiento y resolución de Arquímedes lo situaban en una clase aparte de los científicos de su época. Permítanme describir únicamente tres ejemplos representativos que ofrecen una somera idea de la inventiva de Arquímedes. El primero de ellos, a primera vista, no parece más que una entretenida curiosidad, pero un examen más atento revela la profundidad de su inquisitivo cerebro. Las otras dos ilustraciones de los métodos arquimedianos demuestran un pensamiento tan avanzado que bastan para elevar a Arquímedes a lo que he denominado el estatus de «mago».
Al parecer, Arquímedes estaba fascinado por los números grandes. La notación ordinaria es demasiado tosca para expresar números muy grandes (intente escribir un cheque personal de 8,4 billones de dólares, la deuda nacional de Estados Unidos en julio de 2006, en el espacio asignado para la cantidad). De modo que Arquímedes desarrolló un sistema con el que podría representar incluso números de 80 trillones de dígitos. Este sistema lo utilizó en un original tratado llamado El arenario, para mostrar que el número total de granos de arena en el mundo no era infinito.
La misma introducción de ese tratado es tan ilustrativa que reproduciré aquí un fragmento de la misma (la introducción estaba dirigida a Gelón, el hijo del rey Hierón II):
Hay algunos, rey Gelón, que creen que el número de los granos de arena es infinito por su multitud; y cuando digo arena no solamente me refiero a la que existe alrededor de Siracusa y del resto de Sicilia sino también a la que se puede encontrar en toda región, ya sea habitada o deshabitada. También hay algunos que sin creer que sea infinita, piensan sin embargo que no existe ningún número que sea lo bastante grande como para superar tanta abundancia. Y es claro que, si aquellos que sostienen esa opinión imaginasen una masa hecha de arena tan grande como la masa de la Tierra, incluyendo en ella todos los mares y los huecos de la Tierra llenos hasta la altura de la más alta de los montañas, seguirían muy lejos de reconocer que se puede expresar cualquier número que supere esta multitud de arena. Pero intentaré mostrarte, con pruebas geométricas que podrás entender, que de los números a los que nombré y que incluí en la obra que envié a Zeuxipo [por desgracia, esta obra se ha perdido], algunos de ellos superan no sólo el número de los granos de arena cuya masa es igual en magnitud a la de la Tierra llena de la forma en que lo he descrito, sino también a una masa de igual magnitud que el universo. Como sabes, «universo» es el nombre con el que los astrónomos llaman a la esfera cuyo centro es el centro de la Tierra y cuyo radio es igual a la longitud de una línea recta entre el centro del Sol y el centro de la Tierra. Esto es lo que los astrónomos dicen, y es conocimiento común. Pero Aristarco de Samos escribió un libro en el que exponía algunas hipótesis que conducían al resultado de que el universo es muchas veces mayor que lo que ahora se llama así. Sus hipótesis eran que las estrellas fijas y el Sol están inmóviles, que la Tierra gira alrededor del Sol en la circunferencia de un círculo, con el Sol en el centro de la órbita…[73]
De esta introducción sobresalen de inmediato dos aspectos: (i) Arquímedes estaba preparado para poner en duda incluso las creencias más habituales (por ejemplo, que el número de granos de arena es infinito), y (ii) que respetaba la teoría heliocéntrica del astrónomo (en otro lugar del tratado corrige incluso una de las hipótesis de Aristarco). En el universo de Aristarco, la Tierra y los planetas giraban alrededor de un Sol estacionario ubicado en el centro (¡recuerde que este modelo se propuso mil ochocientos años antes de Copérnico!). Tras estas observaciones preliminares, Arquímedes se aboca a la tarea de los granos de arena, avanzando mediante una serie de pasos lógicos. En primer lugar efectúa una estimación del número de granos que puestos en fila son necesarios para abarcar el diámetro de una semilla de amapola. Luego, cuántas semillas de amapola abarcarían la anchura de un dedo, cuántos dedos en un estadio, y continúa hasta los diez mil millones de estadios. Sobre la marcha, Arquímedes inventa un sistema de índices y una notación que, combinados, le permiten clasificar estos descomunales números. Arquímedes supuso que la esfera de estrellas fijas es menos de diez millones de veces mayor que la esfera que contiene la órbita del Sol (según se ve desde la Tierra), halló que el número de granos de arena en un universo lleno de ella sería inferior a 1063 (un uno seguido de sesenta y tres ceros). La conclusión de su tratado era una respetuosa nota a Gelón:
Imagino que estos hechos, rey Gelón, parecerán increíbles a la gran mayoría de las personas que no han estudiado matemáticas, pero a aquellos que están versados en ellas y han meditado sobre la cuestión de las distancias y tamaños de la Tierra y el Sol y la Luna y el universo entero, la prueba les resultará convincente. Y por ese motivo he pensado que el asunto no sería inapropiado para someterlo a tu consideración.
La belleza de El arenario reside en la facilidad con la que Arquímedes pasa de los objetos cotidianos (semillas de amapola, arena y dedos) a los números abstractos y la notación matemática, y de ahí a los tamaños del sistema solar y del universo entero. Arquímedes poseía sin duda una flexibilidad intelectual de tal calibre que podía utilizar cómodamente sus matemáticas para descubrir propiedades desconocidas del universo y también utilizar las características del cosmos para avanzar en los conceptos aritméticos.
El segundo factor que hace a Arquímedes acreedor del título de «mago» es el método utilizado para llegar a sus notables teoremas geométricos. Apenas se sabía nada sobre este método ni sobre los procesos mentales en general de Arquímedes hasta el siglo XX. En 1906, un espectacular descubrimiento abrió una ventana a la mente de este genio. La historia de este descubrimiento recuerda tanto a una de esas novelas históricas de misterio del escritor y filósofo italiano Umberto Eco que me siento en la obligación de desviarme brevemente para contarla.[74]

 El palimpsesto de Arquímedes

En algún momento del siglo X,[75] un escriba anónimo de Constantinopla (la actual Estambul) copió tres importantes obras de Arquímedes: El método, Stomachion y De los cuerpos flotantes. Probablemente se debió a un interés general por los matemáticos griegos suscitado por el matemático del siglo IX León el Geómetra. Sin embargo, en 1204, los caballeros de la cuarta cruzada decidieron saquear Constantinopla en busca de soporte financiero. En los años venideros, la pasión por las matemáticas decayó, mientras que el cisma entre la Iglesia Católica de Occidente y la Iglesia Ortodoxa de Oriente se convirtió en un hecho consumado. En algún momento antes de 1229, el manuscrito con las obras de Arquímedes sufrió un catastrófico proceso de reciclaje: fue desencuadernado y lavado para reutilizar el pergamino en un libro de oraciones cristiano. El escriba Ioannes Myronas terminó de copiar el libro de oraciones el 14 de abril de 1229.[76] Por fortuna, el borrado del texto original no lo eliminó por completo.
En la figura 12 se muestra una página del manuscrito; las líneas horizontales representan las oraciones y las verticales, el contenido matemático. Alrededor del siglo XVI, el palimpsesto —el documento reciclado— había llegado de algún modo a Tierra Santa, concretamente al monasterio de San Sabas, al este de Belén. A principios del siglo XIX, la biblioteca del monasterio contenía no menos de un millar de manuscritos. Sin embargo, por razones no del todo conocidas, el palimpsesto de Arquímedes volvió a ser trasladado a Constantinopla. En la década de 1840, el famoso erudito bíblico alemán Constantin Tischendorf (1815-1874), descubridor de uno de los manuscritos más antiguos de la Biblia, visitó el metoquio del Santo Sepulcro en Constantinopla (dependiente de la abadía del Patriarcado Griego en Jerusalén) y allí vio el palimpsesto. Probablemente, Tischendorf quedó intrigado por el parcialmente visible texto matemático subyacente, porque al parecer ¡arrancó y robó una página del manuscrito! Los herederos de Tischendorf vendieron esa página en 1879 a la Biblioteca de la Universidad de Cambridge.
En 1899, el estudioso griego Anastasius Papadopoulos Kerameus catalogó todos los manuscritos del Metoquio, y el manuscrito de Arquímedes apareció en su lista como Ms. 355. Papadopoulos Kerameus fue capaz de leer algunas líneas del texto matemático y, quizá dándose cuenta de su posible importancia, escribió estas líneas en su catálogo. El texto matemático en el catálogo captó la atención del filólogo danés Johan Ludvig Heiberg (1854-1928). Heiberg reconoció el texto como perteneciente a Arquímedes, de modo que viajó a Estambul en 1906, examinó y fotografió el palimpsesto y, un año después, anunció su extraordinario descubrimiento: dos tratados inéditos de Arquímedes (y otro del que sólo se conocía hasta entonces su traducción al latín). Aunque Heiberg fue capaz de leer fragmentos del manuscrito y luego publicarlos en su libro sobre la obra de Arquímedes, aún había huecos importantes. Por desgracia, en algún momento después de 1908, el manuscrito desapareció de Estambul en misteriosas circunstancias, para reaparecer en manos de una familia de París, que afirmaba haberlo poseído desde los años veinte. El palimpsesto había sufrido daños irreversibles por moho debido a un almacenaje incorrecto, y tres de las páginas anteriormente transcritas por Heiberg habían, simplemente, desaparecido. Además, posteriormente a 1929, una persona pintó cuatro miniados de estilo bizantino en cuatro de sus páginas. La familia francesa que poseía el manuscrito decidió finalmente enviarlo a Christie's para que fuese subastado. La propiedad del manuscrito fue disputada en un juzgado federal de Nueva York en 1998. El Patriarcado de Jerusalén de la Iglesia Ortodoxa griega reclamaba que el manuscrito había sido robado en los años veinte de uno de sus monasterios, pero el juez acabó decidiendo en favor de Christie's. El palimpsesto fue subastado en Christie's el 29 de octubre de 1998, y un comprador anónimo pagó por él dos millones de dólares. El propietario depositó el manuscrito de Arquímedes en el museo de arte Walters en Baltimore, donde recibe un exhaustivo tratamiento de conservación y está siendo sometido a un concienzudo examen.
Los modernos científicos especialistas en imagen disponen de herramientas en su arsenal que no estaban disponibles a los investigadores de épocas pasadas. Luz ultravioleta, imagen multiespectral y rayos X enfocados (producidos por electrones acelerados en el Acelerador lineal de Stanford) han ayudado a descifrar porciones del manuscrito previamente ocultas. En el momento de redactar estas líneas, los especialistas prosiguen con el cuidadoso estudio del manuscrito de Arquímedes. Yo mismo tuve la suerte de conocer al equipo «forense» del palimpsesto.[77]
La dramática historia que rodea al palimpsesto es de lo más adecuada para un documento que nos permite echar un vistazo sin precedentes al método del insigne geómetra.

 El método

Al leer cualquier libro de geometría griega, no deja de impresionar la economía de estilo y la precisión con la que se enunciaban y se demostraban los teoremas hace más de dos milenios. Sin embargo, lo que esos libros no proporcionan son pistas claras sobre cómo se concibieron esos teoremas. El excepcional documento de Arquímedes El método ayuda a cubrir parcialmente esta misteriosa laguna, ya que revela cómo el propio Arquímedes se convenció de la verdad de ciertos teoremas antes de saber cómo demostrarlos. Este texto es parte de lo que decía al matemático Eratóstenes de Cirene (ca. 284-192 a.C.) en la introducción:
Te haré llegar las demostraciones de los teoremas de este libro. Como te tengo por una persona diligente, un excelente profesor de filosofía, y sé de tu interés por las investigaciones matemáticas, juzgué apropiado escribir y exponer para ti en este mismo libro ciertométodo especial que te permitirá comprender determinadas cuestiones matemáticas con la ayuda de la mecánica. Estoy convencido de la utilidad de tal método para hallar las demostraciones de estos mismos teoremas. Porque algunas cosas que primero pude apreciar por el método mecánico se probaron luego de forma geométrica, ya que al investigarlas por ese método no se alcanzaba una verdadera demostración. Pues es más fácil llegar a la demostración cuando, mediante el método, se ha adquirido un conocimiento de las cuestiones, que no llegar a ella sin conocimiento previo. (La cursiva es mía).[78]
Arquímedes se refiere aquí a uno de los aspectos fundamentales en la investigación científica y matemática: con frecuencia es más complicado describir cuáles son las preguntas o teoremas importantes que encontrar la respuesta a las preguntas o la demostración de los teoremas conocidos. Entonces, ¿cómo descubrió Arquímedes los nuevos teoremas? A partir de su magistral comprensión de la mecánica, el equilibrio y los principios de la palanca, pesó mentalmente los sólidos o figuras cuyo volumen o área intentaba hallar comparándolos con otros que ya sabía. Tras determinar así la solución del área o volumen desconocidos, le resultaba mucho más sencillo probar geométricamente la corrección de esa solución. Así, El método se inicia con una serie de afirmaciones relativas a centros de gravedad para luego proseguir a las proposiciones geométricas y sus demostraciones.
El método de Arquímedes resulta extraordinario desde dos puntos de vista. En primer lugar, introduce el concepto de «experimento mental» en la investigación rigurosa. El físico del siglo XIX Hans Christian Oersted denominó por primera vez a esta herramienta —un experimento imaginario realizado en lugar de uno real— Gedankenexperiment (en alemán, «experimento efectuado en el pensamiento»). En física, donde este concepto ha resultado extremadamente fructífero, los experimentos mentales se utilizan para percibir ciertos aspectos de un problema antes de efectuar el experimento real, o bien en casos en los que éste no se puede llevar a cabo. En segundo lugar, y más importante aún, Arquímedes liberó a la matemática de las cadenas más bien artificiales que Euclides y Platón le habían impuesto. Para ellos sólo había una forma de hacer matemáticas. Debía empezarse por los axiomas y proseguir a través de una inexorable secuencia de pasos lógicos, utilizando herramientas perfectamente establecidas. Arquímedes, de espíritu más libre, utilizaba en cambio cualquier recurso que se le ocurría para formular nuevos problemas y resolverlos. No vacilaba en explorar y sacar provecho de las relaciones entre los objetos matemáticos abstractos (las formas platónicas) y la realidad física (sólidos y objetos planos reales) para progresar.
Un último ejemplo que consolida aún más el estatus de «mago» de Arquímedes: fue capaz de prever el cálculo diferencial e integral[79] —una rama de la matemática desarrollada formalmente por Newton (y, de forma independiente, por el matemático alemán Leibnitz) a finales del siglo XVII—.
La idea básica que subyace al proceso de integración es bastante simple (¡después de señalarla!). Supongamos que queremos determinar el área de un segmento de elipse. Se puede dividir el área en muchos rectángulos de la misma anchura y luego sumar las áreas de esos rectángulos (figura 14).
Por supuesto, cuantos más rectángulos se utilicen, más se aproximará la suma al área real del segmento. En otras palabras, el área del segmento es en realidad igual al límite al que se acerca la suma de los rectángulos cuando el número de éstos tiende a infinito. El proceso de hallar este límite se denomina integración. Arquímedes utilizó su propia versión del método que acabo de describir para hallar los volúmenes y las superficies de la esfera, del cono y de elipsoides y paraboloides (los sólidos que se obtienen al hacer girar elipses o parábolas sobre sus ejes).
Uno de los principales objetivos del cálculo diferenciales hallar la pendiente de una línea recta tangente a una curva en un punto determinado (la línea que toca a la curva únicamente en ese punto). Arquímedes resolvió el problema para el caso especial de una espiral, en un atisbo de lo que serían los futuros trabajos de Newton y Leibnitz. En la actualidad, el cálculo diferencial e integral y las ramas derivadas constituyen la base de la mayoría de los modelos matemáticos, tanto en física como en ingeniería, economía o dinámica de poblaciones.
Arquímedes cambió profundamente el mundo de las matemáticas y la percepción de su relación con el cosmos. Con su asombrosa combinación de intereses teóricos y prácticos, ofreció las primeras pruebas empíricas, no míticas; del diseño aparentemente matemático de la naturaleza. La percepción de que las matemáticas son el «idioma» del universo nació con la obra de Arquímedes. Sin embargo, Arquímedes dejó algo por hacer: nunca comentó las limitaciones de sus modelos matemáticos al aplicarlos a las circunstancias físicas reales. Sus comentarios teóricos sobre palancas, por ejemplo, suponían que éstas tenían una rigidez infinita, y que las varas carecían de peso. Así, en cierto modo, abrió la puerta a la interpretación de «salvar las apariencias» de los modelos matemáticos. Me refiero a la idea de que los modelos matemáticos pueden representar únicamente lo que los humanos observan, y no describen la verdadera realidad física. El matemático griego Gémino (ca. 10 a.C.-60 d.C.) fue el primero en hablar con cierto detalle de las diferencias entre los modelos matemáticos y las explicaciones físicas en relación con el movimiento de los cuerpos celestes.[80] Distinguía entre astrónomos (o matemáticos), que, en su opinión, sólo tenían que sugerir modelos que reprodujesen los movimientos celestiales, y físicos, que debían hallar explicaciones para los movimientos reales. Esta distinción en particular llegaría a un punto crítico en la época de Galileo, y volveré a ella más adelante en este capítulo.
Sorprendentemente, el propio Arquímedes consideraba uno de sus mayores logros el descubrimiento de que el volumen de una esfera inscrita en un cilindro (figura 15) era siempre 2/3 del volumen del cilindro. Estaba tan satisfecho con este resultado que hizo que lo grabaran en su lápida.[81] Unos ciento treinta y siete años después de la muerte de Arquímedes, el famoso orador romano Marco Tulio Cicerón (ca. 106-43 a.C.) descubrió la tumba del insigne matemático, lo que describe de esta forma conmovedora:
Siendo yo cuestor en Sicilia pude localizar su tumba [de Arquímedes]. Los siracusanos no sabían nada de ella, y de hecho negaban incluso su existencia. Pero allí estaba, completamente oculta por arbustos de zarzas y espinos. Recordé haber oído hablar de unos versos inscritos en su lápida que hablaban de un modelo de una esfera y un cilindro sobre la piedra que coronaba su tumba. Así que examiné con atención las numerosas tumbas que se erguían junto a la puerta de Agrigento. Finalmente, observé una pequeña columna apenas visible por encima de la maleza, sobre la que se distinguían una esfera y un cilindro. Inmediatamente me volví a los ilustres ciudadanos de Siracusa que me acompañaban, y les indiqué que creía que ése era el objeto que estaba buscando. Enviaron a llamar a hombres con hoces para despejar el lugar y, cuando el monumento quedó al descubierto, nos acercamos a él. Y los versos aún podían verse, aunque aproximadamente la segunda mitad de cada línea se había desgastado. Así, una de las ciudades más famosas del mundo griego, un centro de sabiduría de la Antigüedad, habría permanecido ignorante de la tumba del más brillante de sus ciudadanos, ¡de no haber sido porque un hombre de Arpino acudió a señalarla! [82]
Mi listón para ser merecedor del título de «mago» lo he colocado deliberadamente a una altura tal que, desde el gigante Arquímedes, es necesario saltar más de diecisiete siglos antes de hallar a alguien de una estatura similar. A diferencia de Arquímedes, que dijo que podía mover la Tierra, este «mago» insistía en que la Tierra ¡ya se estaba moviendo!
[58] Bell 1940. <<
[59] Aristóteles ca. 330 a.C. (Hardy y Gaw, Wickstead y Comford 1960); véase también Koyre 1978. <<
[60] Galileo 1589-1592 (Drablein y Drake 1960). <<
[61] En el capítulo 7 se tratarán exhaustivamente estas y otras construcciones lógicas. <<
[62] Bell 1937. <<
[63] Se menciona en los comentarios de Medición de un círculo del matemático Eutocio (ca. 480-540 d.C.); Heiberg 1910-1915. <<
[64] Plutarco ca. 75 d.C. (Dryden 1992). <<
[65] Su año de nacimiento se ha determinado a partir del documento histórico denominado Chiliades, del escritor bizantino del siglo XII Joannes Tzetzes. <<
[66] En Dijksterhuis 1957 se comentan las pruebas de ello. <<
[67] El arquitecto romano Marco Vitruvio Polio (siglo I a.C.) nos cuenta esta historia en su tratado De Architectura (véase Vitruvio, siglo I a.C.). Explica que Arquímedes sumergió en agua un trozo de oro y un trozo de plata, ambos del mismo peso que la corona, y halló que la corona desplazaba más agua que el oro pero menos que la plata. No es difícil demostrar que, a partir de la diferencia de volumen desplazado se puede calcular la proporción de pesos del oro y la plata en la corona. Así, a diferencia de lo que dicen algunas de las narraciones populares, Arquímedes no tuvo que utilizar las leyes de la hidrostática para resolver el problema de la corona. <<
[68] En una carta de Thomas Jefferson a M. Correa de Serra en 1814, escribía: «la buena opinión de la humanidad, como la palanca de Arquímedes, mueve el mundo si cuenta con el punto de apoyo adecuado». Lord Byron menciona la frase de Arquímedes en Don Juan. John Fitzgerald Kennedy la utilizó en un discurso de su campaña, citado en el periódico The New York Times el 3 de noviembre de 1960. Mark Twain la usó en un artículo titulado «Arquímedes» en 1887. <<
[69] Un grupo de estudiantes del MIT intentó reproducir la quema de un barco mediante espejos en octubre de 2005. Algunos de ellos repitieron también el experimento en el programa de TV Cazadores de mitos.
Los resultados no fueron muy definitivos; aunque los estudiantes lograron producir un área que quemaba y se mantenía sola, no lograron producir un fuego demasiado grande. Un experimento similar efectuado en Alemania en septiembre de 2002 logró encender las velas de un barco mediante el uso de 500 espejos. Véase el sitio web de Michael Lahanas para un comentario acerca de los espejos incendiarios. <<
[70] Exactamente estas palabras se mencionan en Chiliades de Tzetzes; véase Dijksterhuis 1957. En 75 d.C., Plutarco dice que Arquímedes simplemente se negó a ser conducido ante Marcelo hasta no haber resuelto el problema que captaba su atención. <<
[71] Whitehead l911. <<
[72] Heath 1897 es un trabajo estupendo acerca de Arquímedes. Otras obras excelentes son Dijksterhues 1957 y Hawking 2005. <<
[73] Heath 1897. <<
[74] Véase Netz y Noel 2007 para una magnífica descripción del Proyecto Palimpsesto. <<
[75] Probablemente en 975 d.C. <<
[76] Netz y Noel 2007. <<
[77] Will Noel, director del proyecto, organizó una reunión con William Christensen-Barry, Roger Easton y Keith Knox. Éste fue el equipo que diseñó el sistema de captación de imágenes de banda estrecha e inventó el algoritmo utilizado para revelar parte del texto. Los investigadores Anna Tonazzini, Luigi Bedini y Emanuele Salerno han desarrollado técnicas de proceso de imágenes adicionales. <<
[78] Dijksterhuis 1957. <<
[79] Berlinski 1996 contiene una bella descripción sobre la historia y el significado del cálculo. <<
[80] Heath 1921. <<
[81] Plutarco ca. 75 d.C. (Dryden 1992). <<
[82] Cicerón, siglo I a.C. Para un análisis académico del texto de Cicerón en términos de estructura, retórica y simbolismo, véase Jaeger 2002. <<

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