jueves, 2 de enero de 2014

¿Es Dios un Matemático? Mario Livio 2009 Capitulo V Estadísticos y probabilistas: La ciencia de la incertidumbre (I)

El mundo no se está quieto. La mayor parte de los objetos que nos rodean están en movimiento o cambian continuamente. Incluso la Tierra bajo nuestros pies, que parece tan firme, está de hecho rotando sobre su eje, girando alrededor del Sol y viajando (junto con éste) alrededor del centro de nuestra galaxia, la Vía Láctea. El aire que respiramos se compone de billones de moléculas que se mueven sin cesar de forma aleatoria. Al mismo tiempo, las plantas crecen, los materiales radiactivos se desintegran, la temperatura de la atmósfera sube y baja de forma cotidiana —además de con cada estación— y la expectativa de vida humana no deja de aumentar. Sin embargo, esta agitación cósmica no amilanó a la matemática. Newton y Leibniz introdujeron la rama denominada cálculo[147] específicamente para poder efectuar un análisis riguroso y una modelización precisa del movimiento y del cambio. En nuestros días, la potencia de esta increíble herramienta que lo abarca todo permite utilizarla para examinar problemas tan dispares como el movimiento de la lanzadera espacial o la propagación de una enfermedad infecciosa. De igual modo que las películas capturan el movimiento fraccionándolo en secuencias de fotogramas, el cálculo puede medir el cambio mediante una retícula tan fina que permite determinar cantidades cuya existencia es extremadamente efímera, como la velocidad, la aceleración o el ritmo de cambio instantáneos.
Guiados por los gigantescos avances de Newton y Leibniz, los matemáticos de la «Era de la Razón» (finales del siglo XVII y siglo XVIII) desarrollaron el cálculo hasta crear la poderosa rama de las ecuaciones diferenciales, de innumerables aplicaciones. Esta nueva arma permitió a los científicos presentar detalladas teorías matemáticas de fenómenos que iban desde la música que produce una cuerda de violín al transporte del calor, desde el movimiento de una peonza al flujo de líquidos y gases. Durante un tiempo, las ecuaciones diferenciales se convirtieron en la herramienta favorita del progreso en física.
Entre los primeros que exploraron las nuevas perspectivas abiertas por las ecuaciones diferenciales se hallaban algunos miembros de la legendaria familia Bernoulli.[148] Entre mediados del siglo XVII y mediados del siglo XIX, esta familia produjo nada menos que ocho matemáticos destacados. Estos talentosos individuos se hicieron tan conocidos por sus disputas familiares como por su sobresaliente habilidad para la matemática.[149] Aunque los conflictos de los Bernoulli tenían siempre relación con su competencia por la supremacía en el terreno matemático, algunos de los problemas que abordaron pueden no parecer muy significativos desde un punto de vista actual. Sin embargo, con frecuencia la solución a estos intrincados enigmas allanó el camino para la consecución de logros matemáticos más destacados. En conjunto, no cabe duda que los Bernoulli tuvieron un papel fundamental en el establecimiento de la matemática como el lenguaje de los procesos físicos.

Como ejemplo de la complejidad de las mentes de dos de los Bernoulli más brillantes —los hermanos Jakob (1654-1705) y Johann (1667-1748)—, valga la siguiente historia. Jakob Bernoulli fue uno de los pioneros de la teoría de las probabilidades, y volveremos a mencionarlo en este capítulo. Sin embargo, en 1690, Jakob estaba ocupado desempolvando un problema que el renacentista por antonomasia —Leonardo da Vinci— había examinado hacía dos siglos: ¿Qué forma adopta una cadena elástica pero inextensible suspendida de dos puntos fijos (como se muestra en la figura 31)?

En sus cuadernos de notas, Leonardo había esbozado algunas cadenas como la descrita. El problema fue presentado también a Descartes por su amigo Isaac Beeckman, pero no hay constancia de que Descartes intentase nunca resolverlo. Históricamente, el problema acabó adoptando la denominación de problema de la catenaria[150] (de la palabra latina catena, cadena). Galileo creyó que la forma debía de ser una parábola, pero el jesuita francés Ignatius Pardies (1636-1673) demostró que se equivocaba. Sin embargo, Pardies no daba la talla para resolver matemáticamente cuál era la forma correcta.
Sólo un año después de que Jakob Bernoulli plantease el problema, su hermano Johann lo resolvió (mediante una ecuación diferencial). Leibniz y el físico matemático holandés Christiaan Huygens (1629-1695) lo resolvieron también, pero la solución de Huygens utilizaba un método geométrico más críptico. El hecho de que Johann lograse resolver un problema que había frustrado los intentos de su hermano y maestro, Jakob, seguía suponiendo una tremenda satisfacción para el joven Bernoulli hasta trece años después de la muerte de Jakob. En una carta que Johann escribió al matemático francés Pierre Rémond de Montmort (1678-1719), no podía ocultar su complacencia:
Dice que mi hermano planteó este problema, y es cierto, pero ¿puede acaso colegirse que disponía de una solución para él? En absoluto. Cuando planteó el problema después de que yo se lo sugiriese (ya que yo fui el primero que pensó en él), ninguno de los dos fuimos capaces de encontrar la solución y, perdida la esperanza, lo calificamos de insoluble, hasta que el Sr. Leibniz publicó en el boletín de Leipzig de 1690, p. 360, que había resuelto el problema, pero no publicó la solución para dar tiempo a otros analistas; y esto fue lo que nos animó a mi hermano y a mí a volver a él con un nuevo enfoque.[151]
Después de atribuirse con todo descaro la propiedad incluso de la sugerencia del problema, Johann prosigue con mal disimulado deleite:
Los esfuerzos de mi hermano no se vieron premiados por el éxito; yo, por mi parte, fui más afortunado, ya que hallé la habilidad (y lo digo sin presunción; ¿por qué habría de ocultarlo?) de resolverlo en su totalidad … Es cierto que su estudio me robó el sueño durante una noche entera … pero, a la mañana siguiente, lleno de júbilo, fui al encuentro de mi hermano, que seguía batallando miserablemente con este nudo gordiano sin llegar a ninguna parte, pensando como Galileo que la catenaria era una parábola. «¡Detente! ¡Detente!», exclamé, «¡deja de torturarte para intentar demostrar la identidad de la catenaria con la parábola, puesto que es falsa …» Y ahora me asombro al ver que concluye que mi hermano halló un método para resolver este problema … Y yo le pregunto, ¿cree en realidad que, si mi hermano hubiese resuelto el problema en cuestión, habría sido tan atento conmigo como para no aparecer en la lista de los que lo solucionaron, con el fin de cederme la gloria de aparecer en solitario en escena como el primero que lo resolvió, junto con los Srs. Huygens y Leibniz?
Por si era necesaria alguna prueba de que los matemáticos son, después de todo, humanos, he aquí esta historia. Sin embargo, esta rivalidad familiar no quita mérito alguno a los logros de los Bernoulli. Durante los años posteriores al episodio de la catenaria, Jakob, Johann y Daniel Bernoulli (1700-1782) no sólo resolvieron otros problemas similares de cuerdas que cuelgan, sino que lograron un progreso general de la teoría de ecuaciones diferenciales y resolvieron el problema del movimiento de proyectiles con un medio con resistencia.
La historia de la catenaria ilustra otra faceta de la potencia de las matemáticas: incluso los problemas físicos de apariencia más trivial poseen soluciones matemáticas. A propósito, la propia forma de la catenaria sigue haciendo las delicias de los millones de visitantes del famoso Gateway Arch en Saint Louis, Missouri. El arquitecto finés-americano Eero Saarinen (1910-1961) y el ingeniero de estructuras germano-americano Hannskarl Bandel (1925-1993) diseñaron esta icónica estructura con una forma similar a la de una catenaria invertida.
El increíble éxito de las ciencias físicas en el descubrimiento de las leyes matemáticas que gobiernan el cosmos en general planteó de forma inevitable la pregunta de si los procesos biológicos, sociales o económicos podían basarse en principios similares. Los matemáticos se preguntaban si la matemática era únicamente el idioma de la naturaleza, o también lo era de la naturaleza humana. Aunque no existan principios realmente universales, ¿pueden las leyes matemáticas utilizarse, como mínimo, para modelar y ofrecer explicaciones de los comportamientos sociales? Al principio, muchos matemáticos estaban convencidos de que ciertas «leyes» basadas en una u otra versión del cálculo serían capaces de predecir con precisión cualquier acontecimiento futuro, grande o nimio. Esta era la opinión, por ejemplo, del gran físico matemático Pierre-Simon de Laplace (1749-1827). Los cinco volúmenes de la Mécanique celeste de Laplace ofrecieron la primera solución prácticamente completa (si bien de un modo aproximado) de los movimientos del sistema solar. Además, Laplace dio respuesta a una pregunta que intrigó incluso al gigante Newton: ¿Por qué el sistema solar es estable en su estado actual? Newton pensó que, debido a sus atracciones mutuas, los planetas debían caer hacia el Sol o salir despedidos hacia el espacio, y atribuyó a la mano de Dios la responsabilidad de mantener intacto el sistema solar. El punto de vista de Laplace era bastante distinto. En lugar de confiar en el trabajo de Dios, se limitó a demostrar matemáticamente que el sistema solar es estable a lo largo de períodos de tiempo mucho más prolongados que los previstos por Newton. Laplace introdujo además otro formalismo matemático denominado teoría de perturbaciones que le permitió calcular el efecto acumulado de muchas perturbaciones reducidas sobre la órbita de un planeta. Como remate, Laplace propuso uno de los primeros modelos del origen del sistema solar: su influyente «hipótesis nebular», en la que el sistema solar se formaba a partir de la contracción de una nebulosa gaseosa.
Tras estas impresionantes proezas, no es extraño que Laplace afirme con audacia en su Ensayo filosófico sobre las probabilidades:
Todos los acontecimientos, incluso aquellos que por su pequeñez parece que escapan a las grandes leyes naturales, forman un encadenamiento tan necesario como las revoluciones del Sol. En la ignorancia de las relaciones que guardan con el sistema total del universo, se los ha supeditado a causas finales o al azar … Hay, pues, que considerar el estado actual del universo como efecto de su estado precedente y como causa del que lo sucederá. Una inteligencia que en un determinado instante pudiera conocer todas las fuerzas que impulsan la naturaleza y la respectiva posición de los seres que la componen y que, además, tuviera la suficiente amplitud para someter esos datos al análisis, incluiría en una sola fórmula los movimientos de los mayores cuerpos del universo y los más ínfimos átomos; nada le escaparía y tanto el pasado como el futuro estarían en su presencia. El espíritu humano brinda un atisbo de tal inteligencia que se manifiesta en la perfección la que ha sabido llevar la astronomía.[152]
Si se están preguntando si, cuando Laplace hablaba de esta «inteligencia» suprema hipotética, se refería a Dios, la respuesta es no. A diferencia de Newton y Descartes, Laplace no era una persona religiosa. Al entregar una copia de su Mecánica celeste a Napoleón Bonaparte, éste, que había oído que en la obra no se hacía referencia a Dios, observó: «M. Laplace, me han dicho que en este inmenso libro que ha escrito sobre el sistema del universo no se menciona siquiera a su creador». Laplace repuso de inmediato: «No tuve necesidad de esa hipótesis». Napoleón, divertido, comentó esta respuesta al matemático Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), y éste exclamó: «¡Ah! Es una bella hipótesis, que explica multitud de cosas». Pero la anécdota no acaba ahí. Al tener noticia de la reacción de Lagrange, Laplace comentó con sequedad: «Esta hipótesis, sir, lo explica en realidad todo, pero no permite predecir nada. Como estudioso, mi deber es proporcionarle obras que permitan efectuar predicciones». (La cursiva es mía).
El desarrollo de la mecánica cuántica —la teoría del mundo subatómico— en el siglo XX ha demostrado que las expectativas de un universo totalmente determinista pecan de exceso de optimismo. De hecho, la física moderna ha demostrado que no es posible predecir el resultado de todos los experimentos, ni siquiera en principio. La teoría puede únicamente predecir las probabilidades de distintos resultados. En las ciencias sociales, la situación es aún más compleja debido a la multiplicidad de elementos interrelacionados, muchos de los cuales son, como mínimo, inciertos. Los investigadores sociales del siglo XVII pronto se dieron cuenta de que su búsqueda de principios universales del tipo de la ley de gravitación de Newton estaba condenada al fracaso de entrada. Durante un tiempo parecía que, al introducir las complejidades de la naturaleza humana en la ecuación, es virtualmente imposible llegar a predicción segura alguna. La situación aún parecía más desesperada si se tomaba en cuenta el pensamiento de toda una población. Sin embargo, en lugar de desesperar, algunos astutos pensadores desarrollaron un innovador arsenal de herramientas matemáticas: la estadística y la teoría de probabilidades.

 Probabilidades en la muerte y en los impuestos

 

 

El novelista inglés Daniel Defoe (1660-1731), célebre por su obra de aventuras Robinson Crusoe, es también el autor de una obra de temática sobrenatural titulada Historia política del diablo. Defoe, que veía por todas partes pruebas de la acción del maligno, escribió: «Cosas tan seguras como la muerte y los impuestos se pueden creer más firmemente». Benjamín Franklin (1706-1790) parece ser del mismo parecer en lo que respecta a esa seguridad. En una carta que escribió a los ochenta y tres años, dirigida al físico francés Jean Baptiste LeRoy, decía: «Nuestra Constitución ya está en funcionamiento. Todo parece indicar que será duradera, pero en este mundo nada se puede afirmar con certeza salvo la muerte y los impuestos».
En efecto, nuestras trayectorias vitales parecen seguir caminos impredecibles, somos propensos a desastres naturales, susceptibles a errores humanos y nos afecta la pura casualidad. Frases como «así es la vida» se han inventado especialmente para expresar nuestra vulnerabilidad a lo inesperado y nuestra incapacidad para controlar el azar. A pesar de estos obstáculos, o quizá debido a ellos, los matemáticos, los científicos sociales y los biólogos han intentado desde el siglo XVI enfrentarse seriamente a la incertidumbre. Tras la fundación de la mecánica estadística y la comprensión de que la base misma de la física —en forma de mecánica cuántica— se basa en la incertidumbre, los físicos del siglo XX se han unido a la batalla con entusiasmo. Los investigadores del sector del armamento utilizan, para combatir el indeterminismo, su capacidad para calcular las probabilidades de un resultado determinado, que es lo mejor que podemos esperar una vez establecido que no podemos predecir el resultado real. Las herramientas —la teoría de probabilidades y la estadística— creadas para mejorar la simple especulación constituyen no sólo los cimientos de una buena parte de la ciencia moderna, sino también de numerosas actividades sociales, de la economía a los deportes.
Todos nosotros utilizamos las probabilidades y la estadística en casi todas las decisiones que tomamos, aunque sea de forma inconsciente. Por ejemplo, quizá no sepa que el número de muertes en accidentes de automóvil en 2004 en Estados Unidos fue de 42.636. Sin embargo, si esa cifra fuese de, pongamos, tres millones, estoy convencido de que la conocería. Es más, es probable que esa información hubiese hecho que se lo pensase dos veces antes de entrar en su coche por la mañana. ¿Por qué precisamente estos datos sobre muertes por accidente nos ofrecen una cierta confianza para decidirnos a conducir? Como veremos enseguida, uno de los ingredientes esenciales de su Habilidad es que se basan en números muy grandes. El número de accidentes mortales en Frio Town, Texas, con una población de 49 personas en 1969, no sería tan convincente. La teoría de probabilidades y la estadística son una extraordinaria munición para las armas de los economistas, consultores políticos, genetistas, compañías de seguros y, en general, cualquiera que quiera extraer conclusiones significativas de una gran cantidad de datos. Cuando decimos que la matemática penetra incluso las disciplinas que no se hallan dentro del grupo original de las ciencias exactas, esta penetración suele ser a través de ventanas abiertas por la teoría de probabilidades y la estadística. ¿Cómo surgieron estos provechosos campos?
La palabra estadística [del italiano stato (estado) y statista (persona que se encarga de asuntos del estado)] se refería en primer lugar simplemente a la recopilación de datos por parte de los funcionarios gubernamentales. El primer trabajo importante en estadística en el sentido moderno lo llevó a cabo un insólito investigador: un tendero del Londres del siglo XVII. John Graunt (1620-1674) vendía botones, agujas y telas, y lo hacía bien.[153] Como su trabajo le dejaba una considerable cantidad de tiempo libre, Graunt estudió latín y francés por su cuenta y empezó a interesarse por las Listas de mortalidad (cifras semanales de los fallecimientos, parroquia por parroquia) publicadas en Londres desde 1604. El proceso de emisión de estos informes surgió principalmente con el fin de disponer de una señal de alarma rápida ante devastadoras epidemias. A partir de estas cifras en bruto, Graunt empezó a efectuar interesantes observaciones que acabó publicando en un pequeño volumen de 85 páginas al que tituló Observaciones naturales y políticas mencionadas en un índice anexo y efectuadas a partir de las listas de mortalidad.

En la figura 32 se muestra un ejemplo de una tabla del libro de Graunt en la que se enumeran alfabéticamente nada menos que 63 enfermedades y fallecimientos. En una dedicatoria al presidente de la Royal Society, Graunt señala que, puesto que su trabajo concierne «el aire, comarcas, estaciones, fertilidad, salud, enfermedades, longevidad y la proporción entre el sexo y las edades de la humanidad», se trata en realidad de un tratado de historia natural. Efectivamente, Graunt fue mucho más allá de la simple recopilación y presentación de datos. Por ejemplo, al examinar los promedios de bautismos y entierros de hombres y mujeres en Londres y en la parroquia rural de Romsey, en Hampshire, demostró por primera vez la estabilidad de la proporción de sexos en el nacimiento. En particular, halló que en Londres nacían 13 mujeres por cada 14 hombres y en Romsey, 15 mujeres por cada 16 hombres. Graunt, con notable capacidad de previsión, expresaba el deseo de que «los viajeros se informasen de si la situación era la misma en otros países». También indicó que «es una bendición para la humanidad que este exceso de Hombres sea un obstáculo natural para la Poligamia: pues, en tal estado, las Mujeres no podrían vivir en la paridad e igualdad de expensas con sus Esposos en que lo hacen aquí y ahora». En la actualidad, la proporción esperada entre niños y niñas en el momento del nacimiento es de aproximadamente 1,05. Tradicionalmente, la explicación de esta diferencia es que la Madre Naturaleza favorece los nacimientos masculinos debido a la mayor fragilidad de los fetos y bebés de ese sexo. A propósito, por razones que no están del todo claras, en Estados Unidos y en Japón, la proporción de bebés de sexo masculino sufre un descenso paulatino desde los años setenta.
Graunt fue también pionero en la construcción de una distribución de edades o «Tabla de vida» de la población viva a partir de las cifras de muertes y sus causas, cuya trascendencia política fue considerable, ya que ofrecía datos acerca del número de «hombres capaces para el combate» —hombres entre dieciséis y cincuenta y seis años de edad— en la población. En un sentido estricto, Graunt no poseía información suficiente para deducir la distribución de edades, y en este aspecto es precisamente donde dio muestras de su ingenio y creatividad. He aquí la forma en que describe su estimación de la mortalidad infantil:
Nuestra primera observación acerca de los fallecimientos debe ser que, en veinte años, de los 229.250 que han muerto de todas las enfermedades y desgracias, 71.124 han perecido a la fiebre aftosa, convulsiones, raquitismo, males de los dientes y gusanos, y como abortos, bautizados, infantes, hígado hinchado y sofocación; lo que es decir que cerca de 1/3 de todos ellos murieron de estos males, que suponemos que cayeron sobre niños de menos de cuatro o cinco años de edad. Murieron también de la viruela, fiebre porcina, sarampión y gusanos sin convulsiones 12.210, cifra de la que suponemos que 1/2 pueden ser niños de menos de seis años de edad. Si tenemos en cuenta que 16 de los mencionados 229 mil murieron de esa extraordinaria y gran desgracia, la plaga, hallaremos que alrededor del 36 por 100 de todas las concepciones murieron antes de los seis años de edad.
En otras palabras, la estimación de Graunt era que la mortalidad antes de los seis años era de (71.124 + 6.105) / (229.250 − 16.000) = 0,36. Mediante argumentos similares y suposiciones razonables, Graunt pudo hacer una estimación de la mortalidad en edad avanzada. Finalmente, completó el espacio entre los seis y los setenta y seis años de edad mediante una hipótesis matemática acerca del comportamiento de la tasa de mortalidad con la edad. Aunque muchas de las conclusiones de Graunt no eran demasiado sólidas, su estudio sirvió para dar inicio a la ciencia de la estadística tal como la conocemos. Su observación de que los porcentajes de determinados eventos que antes se consideraban simples coincidencias (como las muertes causadas por las diversas enfermedades) mostraban en realidad una notable regularidad introdujo el pensamiento científico y cuantitativo en las ciencias sociales.
Los investigadores que siguieron los pasos de Graunt adoptaron algunos aspectos de su metodología, pero desarrollaron también una mejor comprensión matemática del uso de la estadística. Puede resultar sorprendente saber que la persona que efectuó las mejoras más significativas en la «Tabla de vida» de Graunt fuese el astrónomo Edmond Halley, la misma persona que logró persuadir a Newton para que publicase sus Principia. ¿A qué se debía este interés por las tablas de vida? En parte, la razón era que éstas constituían (y aún constituyen) la información básica para los seguros de vida. Las compañías de seguros de vida (¡y, desde luego, los cazafortunas que se casan por dinero!) están interesadas en cuestiones tales como: si una persona llega a los sesenta años, ¿cuál es la probabilidad de que viva hasta los ochenta?
Para construir su tabla de vida, Halley utilizó registros detallados que se conservaban en la ciudad de Breslau, Silesia, desde finales del siglo XVI. El Dr. Caspar Newmann, un párroco local de Breslau, utilizaba estas listas para luchar en su parroquia contra la superstición de que la salud se ve afectada por las fases de la Luna o por las edades que eran divisibles por siete o por nueve. El documento de Halley, cuyo extenso título era: Un cálculo de los grados de mortalidad de la humanidad, deducido de curiosas tablas de los nacimientos y fallecimientos de la ciudad de Breslau, con un intento de establecer el precio de las anualidades sobre vidas, se convirtió en la base de la matemática de los seguros de vida.[154] Para hacerse una idea de la forma en que las compañías de seguros evalúan sus probabilidades, examinemos la tabla de vida de Halley.

En la tabla se puede ver, por ejemplo, que, de las 710 personas que estaban vivas a los seis años de edad, 346 seguían vivas a los cincuenta años. Se puede pues tomar la proporción de 346/710, o 0,49, como cálculo estimativo de la probabilidad de que una persona de seis años de edad viva hasta los cincuenta. De forma similar, de las 242 personas de sesenta años de edad, 41 seguían vivas a los ochenta años. La probabilidad de llegar de sesenta a ochenta años puede entonces estimarse en 41/242, o alrededor de 0,17. El razonamiento subyacente es simple: se basa en experiencias pasadas para determinar la probabilidad de diversos acontecimientos futuros. Si la muestra en la que se basa la experiencia es de un tamaño suficiente (la tabla de Halley se construyó para una población de unas 34.000 personas) y si se cumplen determinadas hipótesis (como una tasa de mortalidad constante en el tiempo), la fiabilidad de las probabilidades calculadas es notable. Jakob Bernoulli describió el mismo problema de este modo:[155]
¿Qué mortal, me pregunto, podría determinar el número de enfermedades, contando todos los casos posibles, que afligen al cuerpo humano en cada una de sus muchas partes y en cada edad, y decir en qué medida una enfermedad es más mortal que otra y, basándose en ello, efectuar una predicción sobre la relación entre la vida y muerte en las generaciones futuras?
Después de llegar a la conclusión de que este y otros pronósticos similares «dependen de factores confusos y que constantemente engañan a nuestros sentidos por la complejidad sin fin de sus interrelaciones», Bernoulli sugería también un punto de vista estadístico/probabilístico:
Existe, no obstante, otro método que nos conducirá a aquello que buscamos y nos permitirá cuanto menos averiguar a posteriori aquello que no podemos determinar a priori, esto es, averiguarlo a partir de los resultados observados en numerosos casos similares. En tal sentido, debemos asumir que, en condiciones similares, la incidencia (o no incidencia) de un determinado acontecimiento en el futuro seguirá el mismo patrón observado para acontecimientos como éste en el pasado. Por ejemplo, si se ha observado que, de 300 personas de la misma edad y constitución que un tal Tito, 200 han muerto al cabo de diez años mientas que los demás han sobrevivido, podemos llegar a la razonable conclusión de que existe el doble de posibilidades de que Tito vaya a pagar en la década subsiguiente su deuda con la naturaleza que de que viva más allá de ese tiempo.
Tras sus artículos matemáticos sobre la mortalidad, Halley escribió un interesante artículo con un trasfondo más filosófico. Uno de sus pasajes es especialmente emocionante:
Aparte de los usos mencionados en anteriores escritos, podría ser admisible inferir de las mismas Tablas con qué escasa justicia nos atribulamos por la brevedad de nuestras vidas y nos sentimos engañados si no llegamos a la edad anciana; mientras que, por lo que podemos ver aquí, la mitad de los nacidos han muerto antes de llegar a los diecisiete años, pues 1.238 se ven reducidos a 616. Así, en lugar de quejarnos por lo que llamamos una muerte a destiempo, deberíamos someternos con paciencia y despreocupación a la disolución que forma necesaria parte de la condición de nuestros perecederos materiales y de nuestra bella y frágil estructura y composición: y considerar una bendición que hayamos sobrevivido, quizá muchos años, ese período de la vida que la mitad de la raza humana no puede alcanzar.
Aunque la situación en la mayoría del mundo moderno ha mejorado de forma significativa en comparación con las lúgubres estadísticas de Halley, por desgracia no se puede decir lo mismo de todos los países. En Zambia, por ejemplo, la mortalidad antes de los cinco años en 2006 se ha calculado en unas pasmosas 182 muertes por cada mil nacidos vivos. La esperanza de vida en Zambia sigue estando en unos desgarradores treinta y siete años.
Sin embargo, la estadística no es sólo una cuestión de muertes. Esta disciplina penetra en todos los aspectos de la vida, desde los rasgos físicos a los productos del intelecto. Una de las primeras personas que reconoció el poder de la estadística para, potencialmente, crear «leyes» para las ciencias sociales fue el erudito belga Lambert-Adolphe-Jacques Quetelet (1796-1874). Quetelet fue el principal responsable de la introducción del concepto estadístico del «hombre medio» o, como diríamos actualmente, «la persona media».

 La persona media

 

 

Adolphe Quetelet nació el 2 de febrero de 1796 en la antigua ciudad belga de Gante.[156] Su padre, funcionario municipal, murió cuando Adolphe contaba tan sólo siete años de edad. Obligado a buscar su propio sustento, Quetelet empezó a enseñar matemáticas a la joven edad de diecisiete años. Cuando no estaba ejerciendo de profesor, componía poesía; también escribió el libreto de una ópera, fue coautor de dos obras de teatro y tradujo diversas obras literarias. Sin embargo, su tema favorito seguían siendo las matemáticas, y fue la primera persona que obtuvo el grado de Doctor en Ciencias por la Universidad de Gante. En 1820, Quetelet fue elegido miembro de la Real Academia de Ciencias de Bruselas, y no tardó en convertirse en su asociado más activo. Los años posteriores los dedicó especialmente a la enseñanza y a la publicación de diversos tratados de matemáticas, física y astronomía.
Quetelet solía empezar su curso de historia de la ciencia con la siguiente perspicaz observación: «Cuanto más avanzan las ciencias, más invaden el dominio de la matemática, que actúa como una especie de punto de convergencia. Podemos juzgar el grado de perfección al que ha llegado una ciencia por la mayor o menor facilidad con la que se le pueden aplicar cálculos».
En diciembre de 1823, Quetelet fue a París enviado por el estado con el fin de que estudiase técnicas de observación en astronomía. Sin embargo, esta visita de tres meses a la que entonces era la capital matemática del mundo hizo que Quetelet fijase su atención en algo completamente distinto: la teoría de probabilidades. El principal responsable en despertar el entusiasmo de Quetelet en este tema fue el propio Laplace. Más adelante, Quetelet hablaría de este modo de su experiencia con la estadística y la probabilidad:
El azar, ese misterioso vocablo del que tanto se ha abusado, se debe considerar nada más que como un velo para nuestra ignorancia; es un espectro que domina de forma absoluta la mente común, acostumbrada a considerar los acontecimientos de un modo aislado, pero que queda reducido a nada ante el filósofo, cuyo ojo abarca largas series de eventos y cuya lucidez no se extravía en variaciones, que desaparecen cuando adquiere una perspectiva suficiente para aprehender las leyes de la naturaleza.[157]
La importancia de esta conclusión es fundamental. En esencia, Quetelet negaba el papel del azar y lo sustituía por la audaz (aunque no del todo demostrada) inferencia de que incluso los fenómenos sociales poseen causas y que las regularidades que presentan los resultados estadísticos se pueden emplear para desentrañar las reglas que subyacen al orden social.
Con la intención de probar la validez de su punto de vista estadístico, Quetelet puso en marcha un ambicioso proyecto de recopilación de miles de medidas relacionadas con el cuerpo humano. Estudió, por ejemplo, la distribución de medidas de pecho de 5.738 soldados escoceses, y de altura de 100.000 reclutas franceses, y representó gráficamente la frecuencia de aparición de cada rasgo humano. En otras palabras, representó el número de reclutas cuya altura estaba entre, por ejemplo, 150 y 155 centímetros, luego entre 155 y 160 centímetros, etc. Luego construyó curvas similares incluso para aquellos rasgos «morales» (según él los denominaba) de los que poseía suficientes datos. Entre estas cualidades se hallaba la propensión al comportamiento criminal, los suicidios y los matrimonios. Para su sorpresa, Quetelet descubrió que todas las características humanas siguen lo que ahora se denomina una distribución de frecuencias normal (o gaussiana, por el nombre del «príncipe de la matemática» Carl Friedrich Gauss, aunque no está demasiado justificado el porqué de esta denominación), con forma de campana (figura 33).
Ya se tratase de alturas, pesos, longitudes de extremidades o incluso cualidades intelectuales determinadas a través de los antepasados de los tests psicológicos, una y otra vez aparecía el mismo tipo de curva. La curva no era desconocida para Quetelet; los matemáticos y los físicos la conocían desde mediados del siglo XVIII, y Quetelet estaba familiarizado con ella por su trabajo en astronomía; lo asombroso fue la asociación de esta curva con características humanas. Anteriormente, se la solía denominar curva de error, porque solía aparecer en cualquier tipo de errores de medida.
Imaginemos, por ejemplo, que debe medir con mucha precisión la temperatura de un líquido en un recipiente. Puede utilizar un termómetro de alta precisión y tomar mil medidas a lo largo de un período de una hora. Debido a errores aleatorios y posiblemente a fluctuaciones en la temperatura, hallará que no todas las mediciones dan exactamente el mismo valor, sino que tienden a agruparse alrededor de un valor central; algunas mediciones dan un valor superior y otras, uno inferior. Si representa el número de veces que aparece cada medida en función de la temperatura, obtendrá el mismo tipo de curva en forma de campana que Quetelet halló para las características humanas. De hecho, cuanto mayor sea el número de mediciones efectuadas de cualquier magnitud física, más se aproximará la distribución de frecuencias a la curva normal. La influencia inmediata de este hecho en la cuestión de por qué las matemáticas son tan extraordinariamente eficaces es bastante espectacular: ¡incluso los errores humanos obedecen leyes matemáticas estrictas!
Quetelet llegó incluso más allá en sus conclusiones: consideró que el hecho de que las características humanas siguiesen la curva de error era indicativo de que el «hombre medio» era lo que la naturaleza estaba tratando de generar.[158] Según Quetelet, igual que los errores de fabricación crearían una distribución de longitudes alrededor de la longitud promedio (correcta) de un clavo, de igual modo los errores de la naturaleza estaban distribuidos alrededor de un tipo biológico preferible, y afirmó que las personas de una nación estaban agrupadas alrededor de su promedio «de igual modo que los resultados de mediciones efectuadas sobre una misma persona, pero con instrumentos imprecisos que justificasen el tamaño de la variación».
No hay duda de que Quetelet llevó sus especulaciones demasiado lejos. Aunque su descubrimiento de que las características biológicas (físicas o mentales) están distribuidas según la curva de frecuencias normal fue excepcionalmente importante, este factor no podía interpretarse como una prueba de las intenciones de la naturaleza, ni juzgar como meros errores las características individuales. Por ejemplo, Quetelet halló que la altura media de los reclutas franceses era de 163 centímetros. Sin embargo, en el extremo inferior halló un hombre que medía 43 centímetros. ¡Es obvio que uno no se puede equivocar en más de 120 centímetros al medir la altura de un hombre de 163 centímetros!
De todos modos, aunque no hagamos mucho caso de las ideas de Quetelet acerca de las «leyes» para fabricar seres humanos a partir de un mismo molde, el hecho de que las distribuciones de los diversos rasgos, desde pesos a niveles de cociente intelectual, sigan la curva normal es notable por sí mismo. Y por si eso fuera poco, incluso la distribución de los promedios de bateo en la liga de primera división de béisbol es bastante próximo a la normal, como lo es el rendimiento anual de los índices bursátiles (que se componen de numerosos valores individuales). De hecho, a veces vale la pena examinar con atención las distribuciones que se desvían de la curva normal. Por ejemplo, si se hallase que la distribución de las notas de inglés de un determinado colegio no sigue la curva normal, esto podría provocar una investigación en las prácticas de calificación de ese colegio. Esto no significa que todas las distribuciones sean normales. La distribución de la longitud de las palabras utilizadas por Shakespeare en sus obras no es normal. Shakespeare utilizaba muchas más palabras de tres y cuatro letras que de once o doce. Los ingresos anuales por familia en Estados Unidos están representados también por una distribución muy alejada de la normal. El pico se halla en unos ingresos de entre 10.000 y 20.000 USD, que corresponde al 13 por 100 de las familias, pero la gráfica posee también un pico significativo (que corresponde aproximadamente a un 10 por 100 de las familias) en el intervalo de entre 100.000 y 150.000 USD, lo que suscita una interesante pregunta: si tanto las características físicas como las intelectuales de los seres humanos (que, es de suponer, determina el potencial de ingresos) están distribuidas según la curva normal, ¿por qué no lo están los ingresos? Pero la respuesta a estas cuestiones socioeconómicas va más allá del ámbito de este libro. Desde nuestra limitada perspectiva actual, el hecho sorprendente consiste en que prácticamente todos los detalles mesurables de los seres humanos (de una etnia determinada) están distribuidos según un solo tipo de función matemática.
Históricamente, los rasgos humanos no sólo sirvieron como base para el estudio de las distribuciones de frecuencia estadísticas, sino también para establecer el concepto matemático de correlación. La correlación mide el grado en que los cambios en el valor de una variable están acompañados por cambios en otra. Por ejemplo, es de esperar que las mujeres altas lleven zapatos más grandes. De forma similar, los psicólogos hallaron una correlación entre la inteligencia de los padres y el éxito escolar de los hijos.
El concepto de correlación resulta especialmente útil en las situaciones en que no hay una dependencia funcional precisa entre las dos variables. Imaginemos, por ejemplo, que una variable es la temperatura diurna máxima en el sur de Arizona, y la otra, el número de incendios forestales en esa región. Para un determinado valor de temperatura, no es posible predecir con exactitud el número de incendios que ocurrirán, ya que esto depende de otras variables como la humedad y el número de incendios provocados. En otras palabras, para un valor específico de temperatura podría haber muchos valores correspondientes de incendios forestales y viceversa. Sin embargo, el concepto matemático denominado coeficiente de correlación nos permite medir de forma cuantitativa la intensidad de la relación entre dos variables.
La persona que introdujo por vez primera la herramienta del coeficiente de correlación fue el geógrafo, meteorólogo, antropólogo y estadístico victoriano sir Francis Galton (1822-1911).[159] Galton —que, por cierto, era primo lejano de Charles Darwin— no era un matemático profesional. Como era una persona de extraordinaria versatilidad y gran sentido práctico, solía dejar las sutilezas matemáticas de sus innovadores conceptos a otros matemáticos, en especial al estadístico Karl Pearson (1857-1936). Galton explicaba así el concepto de correlación:
La longitud del cúbito [el antebrazo] está correlacionada con la estatura, ya que un cúbito largo implica en general un hombre alto. Si la correlación entre ellas es muy próxima, un cubito muy largo implicaría una gran estatura; en cambio, si no lo es tanto, un cúbito muy largo estaría asociado en promedio con una estatura simplemente alta, pero no muy alta; mientras que, si la correlación fuese nula, un cubito muy largo no estaría asociado con ninguna estatura en particular y, por consiguiente, en promedio, con la mediocridad.
Pearson formuló una definición matemática precisa del coeficiente de correlación. El coeficiente se define de modo que, cuando la correlación es muy alta, es decir, cuando una variable sigue de cerca las subidas y bajadas de la otra, el valor del coeficiente es de 1. Cuando dos cantidades presentan correlación inversa, es decir, cuando una aumenta la otra disminuye y viceversa, el coeficiente es igual a -1. Cuando una variable se comporta como si la otra no existiese y viceversa, el coeficiente de correlación es 0. (Por desgracia, el comportamiento de algunos gobiernos muestra una correlación cercana a cero con los deseos de las personas a las que supuestamente representan).
La investigación médica moderna y las previsiones económicas dependen esencialmente de la identificación y cálculo de correlaciones. Los vínculos entre el tabaco y el cáncer de pulmón y entre la exposición al sol y el cáncer de piel, por ejemplo, se establecieron inicialmente mediante el descubrimiento y evaluación de correlaciones. Los analistas del mercado de valores se estrujan continuamente el cerebro para hallar y cuantificar las correlaciones entre el comportamiento del mercado y otras variables, un descubrimiento que potencialmente puede reportarles pingües beneficios.
Los primeros estadísticos pronto se dieron cuenta de que la recogida de datos estadísticos y su interpretación pueden ser asuntos delicados, y deben llevarse a cabo con una exquisita atención. Un pescador que utilice una red con agujeros de 25 centímetros de lado podría llegar a la conclusión de que todos los peces miden más de 25 centímetros, por el simple hecho de que los menores se libran de su red. Se trata de un ejemplo de los efectos de selección, sesgos que se introducen en los resultados debido al procedimiento utilizado para recoger los datos o a la metodología. El muestreo presenta otro problema. Por ejemplo, las actuales encuestas de opinión no entrevistan más que a unos cuantos miles de personas. ¿Cómo pueden los encuestadores estar seguros de que los puntos de vista expresados por los miembros de su muestra representan correctamente la opinión de cientos de millones de personas? Otro de los aspectos que se debe tener en cuenta es que correlación no necesariamente implica causalidad. Las ventas de tostadoras pueden elevarse al mismo tiempo que crece el número de personas que asisten a conciertos de música clásica, pero eso no implica que la presencia de una nueva tostadora en una casa mejore la capacidad de apreciar la música. Posiblemente, ambos efectos están causados por una mejora en la economía.
A pesar de estos importantes riesgos, la estadística se ha convertido en uno de los instrumentos más eficaces de la sociedad moderna, al elevar las ciencias sociales al rango de ciencias, precisamente. Pero en realidad, ¿por qué funciona la estadística? La respuesta la tenemos en la matemática de la probabilidad, que domina numerosos aspectos de la vida moderna. Desde los ingenieros que deciden los mecanismos que se deben instalar en un vehículo tripulado de exploración para garantizar la seguridad de los astronautas a los físicos de partículas que analizan el resultado de los experimentos en aceleradores, los psicólogos que califican tests de inteligencia de niños, las empresas que evalúan la eficacia de nuevos fármacos o los genetistas que estudian la herencia humana, todos ellos deben utilizar la teoría de probabilidades.
[147] Hallará descripciones extraordinariamente accesibles sobre el cálculo y sus aplicaciones en Berlinski 1996, Kline 1967, Bell 1951. Kline 1972 es algo más técnica, pero magnífica. <<
[148] Para conocer algunos de los logros de esta notable familia véase Maor 1994, Dunham 1994. Véase también la Bernoulli-Edition en la página web de la Universidad de Basilea. <<
[149] Descrito en Hellman 2006. <<
[150] Bukowski 2008 contiene una excelente descripción del problema y, en concreto, de la solución de Huygens. Las soluciones de Bernoulli, Leibniz y Huygens aparecen en Truesdell 1960. <<
[151] Citado en Truesdell 1960. <<
[152] Laplace 1814 (Truscot y Emory 1902). <<
[153] Hallará magníficas descripciones de la vida y obra de Graunt en Hald 1990, Cohen 2006 y Graunt 1662. <<
[154] Una reimpresión del documento se encuentra en Newman 1956. <<
[155] Citado en Newman 1956. Su obra está resumida en Todhunter 1865. <<
[156] Dos libros excelentes sobre Quetelet y su obra son Hankins 1908 y Lottin 1912. Stigler 1997, Krüger 1987 y una parte de Cohen 2006 son más breves pero también informativos. <<
[157] Quetelet 1828. <<
[158] Quetelet escribió en sus memorias acerca de la propensión al crimen: «Si el hombre promedio estuviera determinado para una nación representaría el tipo de esa nación; si pudiera determinarse a partir del conjunto de todos los hombres representaría el tipo de toda la raza humana». <<
[159] En Kaplan y Kaplan 2006 se explica de forma divulgativa la obra de Galton y Pearson. <<

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