Las leyes del pensamiento
George Boole (figura
47) nació el 2 de noviembre de 1815 en la ciudad industrial de Lincoln,
Inglaterra.[203] Su padre, John Boole, zapatero en Lincoln, mostraba
un gran interés por la matemática, y era un hábil artesano constructor de
instrumentos ópticos. La madre de Boole, Mary Ann Joyce, era doncella de una
dama de la sociedad. Con la atención del padre distraída de su oficio, el
estado económico de la familia no era muy boyante. George asistió a una escuela
infantil hasta los siete años de edad y, a continuación, a una escuela
primaria, en donde tuvo como maestro a un tal John Walter Reeves. De niño,
Boole estaba especialmente interesado por el latín, que un librero le enseñó, y
por el griego, que aprendió por sí mismo.
A los catorce años de
edad se las arregló para traducir un poema del poeta griego del siglo I a.C.
Meleagro. El padre de George, lleno de orgullo, publicó la traducción en el Herald de Lincoln, lo que hizo que un
maestro local publicase un artículo expresando su incredulidad. La pobreza
obligó a George Boole a empezar a trabajar de profesor ayudante a la edad de
dieciséis años. Durante los años posteriores, Boole dedicó su tiempo libre al
estudio del francés, el italiano y el alemán. El conocimiento de estos idiomas
modernos le fue muy útil, ya que le permitió dedicar su atención a las grandes
obras de matemáticos como Lacroix, Laplace, Lagrange, Jacobi y otros. Sin
embargo, Boole seguía sin poder recibir una formación matemática regular, de
modo que continuó sus estudios en solitario mientras trabajaba de maestro para
contribuir al sostén de sus padres y hermanos. Pero el talento matemático de
este autodidacta empezaba a manifestarse, y empezó a publicar en el Cambridge Mathematical Journal.
En 1842, Boole inició
una correspondencia regular con De Morgan, a quien le enviaba sus artículos
matemáticos para que éste los comentase. Su creciente reputación como
matemático original y el apoyo de una recomendación de De Morgan hicieron que
Boole recibiese la oferta de ocupar el puesto de profesor de matemática en el
Queen's College, en Cork, Irlanda, en 1849, en donde enseñó durante el resto de
su vida. En 1855, Boole se casó con Mary Everest (cuyo tío, el explorador
George Everest, dio nombre a la montaña), diecisiete años más joven que él, y
la pareja tuvo cinco hijas. Boole murió prematuramente a los cuarenta y nueve
años de edad. Un frío día de invierno de 1854, Boole llegó empapado al colegio,
pero insistió en dar sus clases con la ropa mojada. Al llegar a su casa, su
mujer contribuyó a empeorar su estado al mojar la cama con cubos de agua,
siguiendo una superstición según la cual la cura debe, en cierto modo, replicar
la causa de la enfermedad. Boole contrajo una neumonía y murió el 8 de
diciembre de 1864. Bertrand Russell no ocultaba su admiración por esta persona
de formación autodidacta: «La matemática pura fue descubierta por Boole, en su
obra titulada Las leyes del pensamiento
(1854) […] En realidad, su libro trataba de lógica formal, que es lo mismo que
decir matemática». Sorprendentemente, tanto Mary Boole (1832-1916) como las
cinco hijas del matrimonio alcanzaron una fama considerable en distintos
campos, desde la educación a la química.
Boole publicó El análisis matemático de la lógica[204]
en 1847 y Las leyes del pensamiento
en 1854 (el título completo era Una
investigación de las leyes del pensamiento en las que se basan las teorías
matemáticas de la lógica y las probabilidades). Se trataba de verdaderas
obras maestras, el primer paso decisivo para poner de manifiesto el paralelismo
entre las operaciones aritméticas y las lógicas. Literalmente, Boole transformó
la lógica en un tipo de álgebra (a la que se llamaría álgebra de Boole) y
extendió el análisis de la lógica incluso al razonamiento probabilístico. En
palabras del propio Boole:
El propósito de este
tratado [Las leyes del pensamiento]
es investigar las leyes fundamentales de las operaciones de la mente mediante
las que se lleva a cabo el razonamiento, expresarlas en el lenguaje simbólico
del Cálculo y, sobre estos cimientos, establecer la ciencia de la Lógica y
construir su método; hacer de este método la base de un método general para la
aplicación de la doctrina matemática de las Probabilidades y, finalmente,
cosechar de los diversos elementos de verdad que estas investigaciones saquen a
la luz algunos indicios probables acerca de la naturaleza y la constitución de
la mente humana.[205]
El cálculo de Boole se podía interpretar como aplicado a las relaciones entre clases (conjuntos de objetos o miembros) o dentro de la lógica de proposiciones.
Por ejemplo, si x e y
fuesen clases, una relación como x = y
significaría que dos clases tienen exactamente los mismos miembros, aunque las
definiciones de ambas fuesen distintas. Tomemos el caso de un colegio en el que
todos los niños miden menos de dos metros; entonces, las dos clases definidas
como: x = «todos los niños del
colegio» e y = «todos los niños del
colegio que miden menos de dos metros» son iguales. Si x e y representasen
proposiciones, entonces x = y
significaría que ambas proposiciones son equivalentes (que una es verdadera si,
y sólo si, la otra también lo es). Por ejemplo, las proposiciones: x = «John Barrymore era hermano de Ethel
Barrymore» e y = «Ethel Barrymore era
hermana de John Barrymore» son iguales. El símbolo «x • y» representaba la parte común de las dos clases x e y
(los miembros que pertenecen tanto a x
como a y) o la conjunción de las
proposiciones x e y (esto es, «x e y»). Por ejemplo, si x fuese la clase de todos los tontos del
pueblo e y fuese la clase de todas
las cosas con pelo negro, entonces x • y
sería la clase de todos los tontos del pueblo con el pelo negro. Para las
proposiciones x e y, la conjunción x • y (se puede también utilizar la palabra «y») significa que
ambas proposiciones deben ser ciertas. Por ejemplo, cuando la Dirección General
de Tráfico dice que «debes pasar una prueba de visión periférica y un examen de
conducción», significa que ambos requisitos deben cumplirse. Para Boole, el
símbolo «x + y» representaba (para
dos clases sin miembros comunes) la clase que constaba de los miembros de x y de los miembros de y.
En el caso de
proposiciones, «x + y» correspondía a
«o x o y, pero no ambas». Por ejemplo, si x es la proposición «las clavijas son cuadradas» e y es «las clavijas son redondas»,
entonces x + y es «las clavijas son o
cuadradas o redondas». De forma similar, «x
− y» representaba la clase de los miembros de x que no eran miembros de y,
o la proposición «x pero no y». Boole denotaba la clase universal
(que contenía todos los miembros posibles de los que se estaba hablando) como
1, y la clase vacía o nula (que no contenía ningún miembro) como 0. Obsérvese
que la clase nula (o conjunto nulo) no es en absoluto lo mismo que el número
cero; este último es simplemente el número de miembros de la clase nula.
Obsérvese también que la clase nula no es lo mismo que nada, porque una clase
que no contiene nada sigue siendo una clase. Por ejemplo, si todos los
periódicos de Albania están escritos en albanés, la clase de todos los
periódicos de Albania escritos en albanés se denotaría con 1 en la notación de
Boole, mientras que la clase de todos los periódicos de Albania escritos en
español se denotaría con 0. En el caso de proposiciones, 1 representa la
proposición verdadera estándar (por ejemplo, los humanos son mortales) y 0, la
proposición falsa estándar (por ejemplo, los humanos son inmortales),
respectivamente.
Utilizando estas
convenciones, Boole formuló un conjunto de «axiomas» que definían el álgebra de
la lógica. Por ejemplo, se puede comprobar que, utilizando las definiciones
anteriores, la proposición obviamente cierta «todo es o x o no x» se podría
escribir así en el álgebra de Boole: x + (1 − x) = 1, que es también cierto en
el álgebra ordinaria. De forma similar, la afirmación de que la parte común
entre cualquier clase y la clase vacía es la clase vacía se representaba
mediante 0 • x = 0, que significaba
también que la conjunción de cualquier proposición con una falsa es falsa. Por
ejemplo, la proposición «el azúcar es dulce y los humanos son inmortales»
genera una proposición falsa, a pesar de que la primera parte es verdadera.
Obsérvese de nuevo que esta «igualdad» en el álgebra de Boole sigue siendo
cierta con números algebraicos normales.
Para demostrar la
potencia de sus métodos, Boole intentó utilizar sus símbolos lógicos en
cualquier asunto que considerase importante. Sin ir más lejos, analizó incluso
los argumentos de los filósofos Samuel Clarke y Baruch Spinoza sobre la
existencia y atributos de Dios. Sin embargo, su conclusión fue bastante
pesimista: «Opino que no es posible examinar los argumentos de Clarke y Spinoza
sin llegar a la profunda convicción de la futilidad de todo empeño de
establecer, completamente a priori, la existencia de un Ser Infinito, Sus
atributos y Su relación con el Universo». A pesar de la sensatez de la
conclusión de Boole,[206] al parecer no todas las personas quedaron
convencidas de la futilidad de estos empeños, pues a día de hoy aún siguen
emergiendo versiones actualizadas de los argumentos ontológicos para la
existencia de Dios.
Boole fue capaz de
domar matemáticamente los conectores lógicos y, o, si… entonces y no, que actualmente se encuentran en el
corazón de las operaciones que realizan los ordenadores y diversos circuitos de
conmutación. Por tanto, muchos le consideran uno de los «profetas» que dieron
paso a la era digital. Sin embargo, debido a su naturaleza pionera, el álgebra
de Boole tenía sus limitaciones. En primer lugar, los escritos de Boole son
algo ambiguos y de difícil comprensión debido a que la notación utilizada se
parecía demasiado a la del álgebra ordinaria. En segundo lugar, Boole confundió
la distinción entre proposiciones (por ejemplo, Aristóteles es mortal),
funciones proposicionales o predicados (por ejemplo, x es mortal) y afirmaciones cuantificadas (por ejemplo, para todo x, x
es mortal). Finalmente, Frege y Russell afirmaron más adelante que el álgebra
deriva de la lógica, de modo que se podría decir que tenía más sentido
construir el álgebra sobre la base de la lógica que el proceso contrario.
Sin embargo, otro de
los aspectos del trabajo de Boole estaba a punto de dar abundante fruto. Se
trataba de la comprensión de la proximidad entre la lógica y los conceptos de
clases y conjuntos. Recordemos que el álgebra de Boole funcionaba tanto para
clases como para proposiciones lógicas. En efecto, si todos los miembros de un
conjunto X son también miembros de Y (X
es un subconjunto de Y), esto se
puede expresar con una implicación
lógica de la forma «Si X entonces Y». Por ejemplo, el hecho de que el
conjunto de todos los caballos sea un subconjunto del conjunto de todos los
cuadrúpedos se puede reescribir en forma de proposición lógica: «Si x es un caballo entonces es un
cuadrúpedo».
El álgebra lógica de
Boole fue ampliada y mejorada posteriormente por diversos investigadores, pero
la persona que sacó el máximo provecho de la similitud entre los conjuntos y la
lógica y elevó el concepto a otro nivel fue Gottlob Frege (1848-1925; figura
48).
Friedrich Ludwig
Gottlob Frege nació en Wismar, Alemania, en donde su padre y su madre
dirigieron, en distintos momentos, una escuela secundaria femenina. Frege
estudió matemáticas, física, química y filosofía, primero en la Universidad de
Jena y luego, durante dos años más, en la Universidad de Göttingen.
Tras completar su
formación empezó a dar clases en Jena en 1874, en donde estuvo enseñando
matemáticas durante toda su carrera profesional. Aunque su trabajo de profesor
le dejaba poco tiempo libre, Frege se las arregló para publicar su primera obra
revolucionaria sobre lógica en 1879.[207] Se titulaba Escritura conceptual: un lenguaje formal
para el pensamiento puro modelado según el de la aritmética (se suele
conocer como el Begriffsschrift). En
esta obra, Frege desarrollaba un original lenguaje lógico que posteriormente
ampliaría en los dos volúmenes de su tratado Grundgesetze der Arithmetic (Leyes
básicas de la aritmética).[208] Lo que Frege tenía planeado en
el campo de la lógica era, por un lado, muy específico, pero además
extraordinariamente ambicioso. Aunque prestaba atención principalmente a la
aritmética, su intención era demostrar que incluso conceptos tan habituales
como los números naturales (1, 2, 3…) se podían reducir a construcciones
lógicas. Así, Frege creía que todas las
verdades de la aritmética podían demostrarse a partir de unos pocos axiomas de
la lógica. En otras palabras, según Frege, incluso las proposiciones como 1
+ 1 = 2 no eran verdades empíricas,
basadas en la observación, sino que podían derivarse de un conjunto de axiomas
lógicos. La influencia del Begriffsschrift
de Frege ha sido tan notable que el lógico contemporáneo Willard von Orman
Quine (1908-2000) escribió: «La lógica es una disciplina antigua y, desde 1879,
una disciplina magnífica».
Una idea esencial en la
filosofía de Frege era la aseveración de que la verdad es independiente del
juicio humano. En sus Leyes básicas de la
aritmética escribe: «Ser verdadero es distinto de ser tomado por verdadero,
ya sea por una persona, muchas o todas, y en ningún caso puede reducirse a
ello. No existe contradicción en el hecho de que algo sea verdadero y que todos
opinen que es falso. Según yo lo entiendo, las leyes de la lógica no son leyes
acerca de creer que algo es verdad, sino leyes de la verdad … Estas [leyes] actúan
como fronteras establecidas sobre cimientos eternos que nuestro pensamiento
puede sobrepasar, pero en ningún caso desplazar».
Los axiomas lógicos de
Frege[209] suelen ser de la forma «para todo… si… entonces». Por
ejemplo, uno de sus axiomas dice «para todo p,
si no (no p) entonces p», lo que básicamente establece que, si
una proposición contradictoria con la que se está discutiendo es falsa,
entonces esta última es cierta. Por ejemplo, si no es cierto que no tienes que
detener tu coche en una señal de stop,
entonces con total seguridad debes detenerte en una señal de stop. Para desarrollar un «lenguaje»
lógico, Frege complementó su conjunto de axiomas con un nuevo e importante
aspecto. Sustituyó el estilo tradicional de sujeto/predicado de la lógica clásica
por conceptos prestados de la teoría matemática de funciones. Lo explicaré
brevemente: en matemática, expresiones como: f(x) = 3x + 1 significan que f es una función del argumento x, y que el valor de la función se puede
obtener multiplicando el argumento por tres y sumando uno. Frege definió lo que
el denominaba conceptos como
funciones. Por ejemplo, supongamos que queremos comentar el concepto «comer
carne». Este concepto se podría denotar simbólicamente mediante una función «F(x)»,
y el valor de esta función sería Verdadero
si x = León y Falso si x = Ciervo. De
forma similar, en el caso de los números, el concepto (función) «ser menor que
7» asociaría a Falso todos los
números mayores o iguales que 7 y a Verdadero
todos los menores que 7. Frege se refería a los objetos para los que un cierto
concepto daba el valor Verdadero como
objetos que «cumplían» ese concepto.
Como ya he mencionado,
Frege estaba convencido de que todas las proposiciones relativas a los números
naturales eran cognocibles y derivables únicamente a partir de definiciones y
leyes lógicas. En consecuencia, inició su exposición acerca de los números
naturales sin exigir ninguna comprensión previa del concepto de «número». Por
ejemplo, en el lenguaje lógico de Frege, dos conceptos son equinuméricos (en palabras llanas, tienen asociado el mismo número)
si hay una correspondencia uno a uno entre los objetos que «cumplen» un
concepto y los que cumplen el otro. Es decir, las tapas de cubos de basura son
equinuméricas con los propios cubos de basura (si todos ellos tienen tapa), y
esta definición no requiere de la definición de «número». Frege introdujo
entonces una ingeniosa definición lógica del número cero. Imaginemos un
concepto F definido como «no idéntico
a sí mismo». Puesto que todos los objetos deben ser idénticos a sí mismos,
ningún objeto cumple F. En otras
palabras, para todos los objetos x, F(x)
= Falso. Frege definió el número común cero como el «número del concepto F», y a continuación definió todos los
números naturales en términos de unas entidades a las que denominó extensiones.[210] La
extensión de un concepto era la clase
de todos los objetos que cumplían ese concepto. Aunque esta definición puede
ser algo difícil de comprender para alguien que no sea lógico, en realidad es
bastante simple. Por ejemplo, la extensión del concepto «mujer» era la clase de todas las mujeres. Es necesario
remarcar que la extensión de «mujer» no es una mujer.
Quizá se pregunte cómo
puede esta definición lógica abstracta ayudar a definir algo como, digamos, el
número 4. Según Frege, el número 4 era la extensión (o clase) de todos los
conceptos que cumplen cuatro objetos. Así, el concepto «ser una pierna de un
perro determinado de nombre Snoopy» pertenece a esa clase (y, por consiguiente,
al número 4), igual que el concepto «ser abuelo o abuela de Gottlob Frege».
El proyecto de Frege
era realmente impresionante, pero sufría de algunos graves inconvenientes. Por
un lado, la idea de emplear conceptos (los bloques básicos de construcción del
pensamiento) para crear la aritmética era una genialidad. Por otro, Frege
omitió algunas incoherencias esenciales en su formalismo. Uno de sus axiomas en
particular (el conocido como «Ley básica V») conducía a una contradicción, por lo
que fallaba por su base.
El texto de la ley
tenía aspecto inocente: afirmaba que la extensión de un concepto F es idéntica a la extensión del
concepto G si, y sólo si, los mismos
objetos cumplen F y G. Pero el 16 de junio de 1902, Bertrand
Russell (figura 49) dejó caer la bomba en una carta a Frege en la que señalaba
una cierta paradoja que demostraba la incoherencia de la Ley básica V. Por una
broma del destino, la carta de Russell llegó justo cuando el segundo volumen de
las Leyes básicas de la aritmética de
Frege iba camino de la imprenta. Frege, horrorizado, se apresuró a agregar al
manuscrito la siguiente sincera admisión: «Apenas hay algo más desagradable
para un científico que notar cómo los cimientos de su trabajo se resquebrajan
justo después de concluirlo. Una carta de Mr. Bertrand Russell me ha colocado
en esa posición cuando este trabajo ya estaba casi impreso». Frege dedicó estas
elegantes palabras a Russell: «Su descubrimiento de la contradicción me provocó
una inmensa sorpresa y casi diría consternación, ya que hizo temblar la base
sobre la que pretendía construir la aritmética».
El hecho de que una
paradoja pudiese tener este devastador efecto sobre todo un proyecto puede resultar
sorprendente a primera vista, pero, en palabras del lógico de la Universidad de
Harvard W. V. O. Quine: «En más de una ocasión en la historia el descubrimiento
de una paradoja ha forzado una reconstrucción esencial de las bases del
pensamiento». La paradoja de Russell representó precisamente una de tales
ocasiones.
La paradoja de Russell
Una clase o conjunto no es más que una colección de objetos. Estos objetos no
tienen por qué estar relacionados entre sí. Se puede hablar de una clase que
contenga todos los elementos siguientes: los periódicos de Albania, el caballo
blanco de Napoleón y el concepto de amor verdadero. Los elementos que
pertenecen a una cierta clase se denominan miembros
de esa clase. El matemático alemán Georg Cantor (1845-1918) fue el fundador,
prácticamente en solitario, de la teoría de conjuntos. Los conjuntos —o clases—
se revelaron enseguida como objetos fundamentales, y tan irrevocablemente
ligados a la lógica que cualquier intento para construir la matemática sobre la
lógica implicaba de forma necesaria construir sobre las bases axiomáticas de la
teoría de conjuntos.
La mayoría de las
clases de objetos con las que uno se tropieza no son miembros de sí mismas. Por
ejemplo, la clase de todos los copos de nieve no es un copo de nieve, la clase
de todos los relojes de pulsera antiguos no es un reloj de pulsera antiguo,
etc. Pero algunas clases sí son miembros de sí mismas. Por ejemplo, la clase de
«todo aquello que no es un reloj de pulsera antiguo» es miembro de sí misma, ya
que está claro que esta clase no es un reloj antiguo. De forma similar, la
clase de todas las clases es miembro de sí misma, ya que, obviamente, es una
clase. Pero ¿y la clase de «todas las clases que no son miembros de sí mismas»?[211]
Vamos a llamar R a esa clase. ¿Es R miembro de sí misma (de R) o no lo es? Está claro que R no pertenece a R porque, si perteneciese, violaría la definición de pertenencia a R. Pero, si R no pertenece a sí misma, entonces, según la definición, debe ser
miembro de R. De forma parecida a lo
que sucedía con el barbero del pueblo, aquí tenemos una clase R que pertenece y no pertenece a R, lo que es una contradicción lógica.
Esta es la paradoja que Russell envió a Frege. Esta antinomia minaba por
completo el proceso de determinación de las clases o conjuntos, y asestó un
golpe mortal al proyecto de Frege. Frege hizo algunos intentos desesperados de
reparar su sistema de axiomas, pero fueron infructuosos. La conclusión tenía
todo el aspecto de ser desastrosa: en lugar de ser más sólida que la
matemática, la lógica era, al parecer, más vulnerable a las incoherencias
paralizantes.
En el mismo período en
que Frege desarrollaba su proyecto de lógica, el matemático y lógico italiano
Giuseppe Peano probaba una estrategia ciertamente distinta. La intención de
Peano era construir la aritmética sobre una base axiomática. En consecuencia,
su punto de partida era la formulación de un conjunto de axiomas simple y
conciso. Los tres primeros axiomas, por ejemplo, decían:
0 es un número.
El sucesor de cualquier
número también es un número.
Dos números no pueden
tener el mismo sucesor.
El problema es que,
mientras que el sistema axiomático de Peano podía reproducir las leyes
conocidas de la aritmética (después de introducir algunas definiciones
adicionales), no contenía nada que permitiese identificar de forma única los
números naturales.
El paso siguiente lo
dio Bertrand Russell. Russell sostenía que la idea original de Frege (derivar
la aritmética de la lógica) seguía siendo el camino correcto. Y, en respuesta a
esta audaz toma de postura, Russell produjo, en colaboración con Alfred North
Whitehead (figura 50), una increíble obra maestra de la lógica: el tratado en
tres volúmenes Principia Mathematica,
un hito histórico.[212] Con la posible excepción del Organon de Aristóteles, se trata
probablemente de la obra más influyente de la historia de la lógica (en la
figura 51 se muestra la portada de la primera edición).
¿Otra vez la crisis no euclidiana?
En los Principia, Russell y Whitehead defendían
la postura de que la matemática era, básicamente, una elaboración de las leyes
de la lógica, y que no existía una clara frontera entre ambas.[213]
Sin embargo, para llegar a una descripción consistente consigo misma, aún
debían controlar las antinomias o paradojas (además de la paradoja de Russell
se habían descubierto otras). Para ello era necesario realizar algunos malabarismos
lógicos de envergadura. Russell argumentaba que el origen de estas paradojas se
reducía a un «círculo vicioso» en el que se definían entidades en términos de
una clase de objetos que contenía la
entidad definida. En palabras de Russell: «Si digo “Napoleón poseía las
cualidades que definen a un gran general”, deberé definir “cualidades” de modo
que no incluya lo que estoy diciendo; es decir, “tener las cualidades que
definen a un gran general” no debe ser una cualidad en el sentido que suponemos».
Con el fin de evitar la
paradoja, Russell propuso una teoría de
tipos en la que una clase (o conjunto) pertenece a un tipo lógico superior
que aquel al que pertenecen sus miembros.[214] Por ejemplo, todos
los jugadores individuales del equipo de fútbol Dallas Cowboys serían del tipo
0. El propio equipo Dallas Cowboys, que es una clase de jugadores, sería del
tipo 1. La National Football League, que es una clase de equipos, sería del
tipo 2; una colección de ligas (si existiese) sería del tipo 3, etc. En este
esquema, la simple noción de «una clase que es miembro de sí misma» no es
verdadera ni falsa, sino que simplemente no tiene sentido. En consecuencia, las
paradojas del tipo de la de Russell no se dan jamás.
No cabe duda de que los
Principia significan una proeza
colosal en el campo de la lógica, pero no se les puede considerar los cimientos
de la matemática buscados durante tanto tiempo. Para muchos, la teoría de tipos
de Russell es una solución bastante artificiosa del problema de las paradojas
que, además, genera ramificaciones de una inquietante complejidad.[215]
Por ejemplo, los números racionales (es decir, las fracciones simples) resultan
ser de un tipo superior que los números naturales. Para evitar en parte estas
complicaciones, Russell y Whitehead introdujeron un axioma adicional,
denominado axioma de reducibilidad,
que por sí mismo generó una cierta controversia y desconfianza.
Los matemáticos Ernst
Zermelo y Abraham Fraenkel sugirieron posteriormente métodos más elegantes para
librarse de las paradojas. De hecho, consiguieron axiomatizar de forma
consistente la teoría de conjuntos y reproducir la mayor parte de los
resultados de la teoría. Esto parecía satisfacer, al menos parcialmente, el sueño
de los platónicos. Si la teoría de conjuntos y la lógica eran, en realidad, dos
caras de una misma moneda, una base sólida para la teoría de conjuntos
implicaba una base sólida para la lógica. Además, si era cierto que la mayoría
de la matemática surgía de la lógica, esto concedía a la matemática una especie
de certidumbre objetiva. Por desgracia, los platónicos tuvieron que suspender
pronto sus celebraciones, porque estaban a punto de sufrir un grave caso de déjà vu.
¿Otra vez la crisis no euclidiana?
En 1908, el matemático
alemán Ernst Zermelo[216] (1871-1953) siguió un camino similar al
que Euclides había abierto alrededor del año 300 a.C. Euclides formuló algunos
postulados no demostrados pero, supuestamente, evidentes por sí mismos, acerca
de puntos y líneas, y construyó la geometría basándose en esos axiomas.
Zermelo, que había descubierto la paradoja de Russell por su cuenta nada menos
que en 1900, propuso una forma de construir la teoría de conjuntos sobre una
base axiomática similar. Su teoría sorteaba la paradoja de Russell mediante una
cuidadosa elección de principios de construcción que evitaban ideas
contradictorias como «el conjunto de todos los conjuntos». El esquema de
Zermelo fue posteriormente ampliado por el matemático israelí Abraham Fraenkel[217]
(1891-1965) para constituir lo que ahora se denomina la teoría de conjuntos de
Zermelo-Fraenkel (John von Neumann agregó algunos otros cambios importantes en
1925).
Todo habría sido casi
perfecto (aún tenía que demostrarse la consistencia) si no hubiese sido por
algunas molestas sospechas. Había un axioma (el axioma de elección) que, igual que el famoso «quinto» de Euclides
estaba causando a los matemáticos un verdadero dolor de cabeza. En palabras
simples, el axioma de elección dice: «Si X
es una colección de conjuntos no vacíos, podemos elegir un miembro de cada uno
de los conjuntos de X para formar un
nuevo conjunto, Y».[218]
Esta afirmación es obviamente cierta si la colección X no es infinita. Si tenemos 100 cajas y cada una de ellas contiene
al menos una canica, podemos elegir sin problemas una canica de cada caja para
formar un conjunto Y que contenga 100
canicas. En un caso como éste no necesitamos ningún axioma especial: podemos demostrar que esta elección es posible.
La afirmación es cierta incluso para colecciones X infinitas, siempre que podamos especificar con precisión cómo efectuamos la elección. Imaginemos,
por ejemplo, una colección infinita de conjuntos no vacíos de números
naturales. Los miembros de esta colección pueden ser conjuntos como {2, 6, 7},
{1, 0}, (346, 5, 11, 1.257}, {todos los números naturales entre 381 y 10.457},
etc. Sin embargo, la cuestión es que en todo conjunto de números naturales
siempre hay un miembro que es el menor. Nuestra elección podría, pues, describirse
de forma única así: «De cada conjunto elegimos el elemento menor». En tal caso
podemos de nuevo evitar la necesidad del axioma de elección. El problema se
plantea, en colecciones infinitas, en los casos en los que no podemos realmente
caracterizar la elección. En tales circunstancias, el proceso de elección
simplemente no se acaba nunca, y la existencia de un conjunto que consta
exactamente de un elemento de cada uno de los miembros de la colección X se convierte en una cuestión de fe.
Desde su creación, el
axioma de elección ha generado una notable controversia entre los matemáticos.
El hecho de que el axioma asevere la existencia de determinado objeto
matemático (esto es, la elección) sin ofrecer ningún ejemplo tangible de ese
objeto ha atraído críticas feroces, especialmente de los adeptos a la escuela
de pensamiento denominada constructivismo
(relacionada filosóficamente con el intuicionismo). Los constructivistas
sostenían que cualquier cosa que existe debe ser explícitamente consumible.
Otros matemáticos tendían también a evitar el axioma de elección y utilizar
sólo el resto de los axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel.
Debido a los aparentes
problemas del axioma de elección, los matemáticos empezaron a preguntarse si
éste se podría demostrar o refutar utilizando los demás axiomas. La historia
del quinto axioma de Euclides se estaba, literalmente, repitiendo. A finales de
los años treinta se ofreció una solución parcial. Kurt Gödel (1906-1978), uno
de los lógicos más influyentes de la historia, demostró que el axioma de
elección y otra famosa conjetura formulada por Cantor, denominada hipótesis del continuo,[219]
eran consistentes con los demás axiomas de Zermelo-Fraenkel. Es decir, ninguna
de las dos hipótesis podía refutarse mediante los otros axiomas estándar de la
teoría de conjuntos. El matemático americano Paul Cohen[220]
(1934-2007) —que por desgracia falleció mientras yo escribía este libro—
presentó pruebas adicionales en 1963 que establecían la completa independencia del axioma de elección y
de la hipótesis del continuo. En otras palabras, el axioma de elección no podía ser demostrado ni refutado a
partir del resto de los axiomas de la teoría de conjuntos. De forma similar, la
hipótesis del continuo no podía ser demostrada ni refutada a partir del mismo
grupo de axiomas, aunque se incluyese el axioma de elección.
Este resultado tuvo
espectaculares consecuencias en filosofía. Como en el caso de las geometrías no
euclidianas, en el siglo XIX no había una única teoría de conjuntos definitiva ¡sino
cuatro, al menos! Se podían plantear hipótesis distintas sobre los conjuntos
infinitos y acabar con teorías de conjuntos mutuamente excluyentes. Por
ejemplo, se podía suponer que el axioma de elección y la hipótesis del continuo
se cumplían —y se obtenía una versión— o bien suponer que ninguno de los dos se
cumplía —y se llegaba a una teoría totalmente diferente—. También se llegaba a
dos teorías de conjuntos distintas si se asumía la validez de uno de los
axiomas y se negaba la del otro.
De nuevo hacía su
aparición una crisis como la de las geometrías no euclidianas, pero aún peor.
Debido al papel fundamental de la teoría de conjuntos como posible base para la
totalidad de la matemática, el problema para los platónicos era mucho más
grave. Si, en efecto, se podían formular varias teorías de conjuntos con sólo
elegir una colección de axiomas diferente, ¿no daba eso fuerza a la tesis de
que la matemática no era más que una invención humana? La victoria de los
formalistas parecía prácticamente segura.
Una verdad incompleta
Mientras que a Frege le
preocupaba sobre todo el significado
de los axiomas, al principal promotor del formalismo, el gran matemático alemán
David Hilbert (1862-1943; figura 52) propugnaba evitar por completo cualquier
interpretación de las fórmulas matemáticas.
Hilbert no tenía
interés alguno en cuestiones como si la matemática podía derivarse de las
nociones de la lógica. Para él, la matemática consistía en realidad en un
conjunto de fórmulas sin sentido, modelos estructurados compuestos de símbolos
arbitrarios.[221] Hilbert asignó la tarea de garantizar la solidez
de los cimientos de la matemática a
una nueva disciplina a la que denominó «metamatemática». Esto es, la
metamatemática trataba del uso de los propios métodos del análisis matemático
para demostrar la consistencia de todo el proceso formal de derivación de
teoremas a partir de axiomas mediante estrictas reglas de inferencia. Dicho de
otro modo, Hilbert opinaba que podía demostrar matemáticamente que la
matemática funcionaba. Según sus propias palabras:
La meta de mis
investigaciones sobre los nuevos fundamentos de la matemática es la siguiente:
eliminar de una vez por todas la duda general acerca de la fiabilidad de la
inferencia matemática … Todo aquello que constituía la matemática será
formalizado con el máximo rigor de modo que la matemática propiamente dicha o
en sentido estricto se convierta en un conjunto de fórmulas … Aparte de la
formalización de la matemática propiamente dicha, existe una matemática que es,
hasta cierto punto, nueva: una metamatemática necesaria para salvaguardar la
matemática y en la cual (a diferencia de los modos puramente formales de
inferencia en la matemática propiamente dicha) se aplica la inferencia
contextual, pero únicamente para demostrar la consistencia de los axiomas …
Así, el desarrollo de la ciencia matemática en su conjunto tiene lugar de dos
formas que se alternan constantemente: por un lado, derivamos fórmulas
demostrables a partir de los axiomas mediante inferencia formal; por otro,
incorporamos nuevos axiomas y demostramos su consistencia por inferencia
contextual.[222]
El plan de Hilbert
sacrificaba el significado para aumentar la seguridad de los fundamentos. En
consecuencia, para sus seguidores formalistas, la matemática no era más que un
juego, pero su finalidad era demostrar rigurosamente que se trataba de un juego
totalmente consistente.[223] Con todos los avances en
axiomatización, la realidad del sueño formalista de la «teoría de la
demostración» parecía estar al alcance de la mano.
Sin embargo, no todos
tenían fe en que el camino tomado por Hilbert fuese el correcto. Ludwig
Wittgenstein (1889-1951), considerado por algunos como el filósofo más notable
del siglo XX,[224] creía que los esfuerzos de Hilbert y su
metamatemática eran, en cierto sentido, una pérdida de tiempo. «No podemos
establecer una norma para la aplicación de otra norma», alegaba. En otras
palabras, Wittgenstein no creía que la comprensión de un «juego» pudiese
depender de la construcción de otro: «Si estoy confuso acerca de la naturaleza
de la matemática, ninguna demostración puede ayudarme».[225] No
obstante, nadie se esperaba el mazazo que estaba a punto de caer. De un solo
golpe, Gödel, que por entonces contaba sólo veinticuatro años, atravesó con una
estaca el corazón del formalismo. Kurt Gödel (figura 53) nació el 28 de abril
de 1906 en la ciudad de Moravia que más tarde se conocería con el nombre checo
de Brno.[226]
En aquel tiempo la
ciudad formaba parte del Imperio Austrohúngaro, y Gödel creció en una familia
de habla alemana. Su padre, Rudolf Gödel, dirigía una fábrica textil, y su
madre, Marianne Gödel, cuidaba de que el joven Kurt recibiese una amplia
educación en matemática, historia, idiomas y religión. Durante su adolescencia,
Gödel desarrolló interés por la matemática y la filosofía y a los dieciocho
años ingresó en la Universidad de Viena, en donde centró principalmente su
atención en la lógica matemática. Quedó especialmente fascinado por los Principia Mathematica de Russell y
Whitehead y por el proyecto de Hilbert, y el tema que eligió para su tesis fue
el problema de la completitud. La finalidad básica de esta investigación era
determinar si el enfoque formal de Hilbert bastaba para generar todos los
enunciados verdaderos de la matemática. Gödel recibió su doctorado en 1930 y un
año más tarde publicó sus teoremas de
incompletitud, que causaron un terremoto en el mundo de la matemática y en
el de la filosofía.[227]
Los dos teoremas,
enunciados en un lenguaje estrictamente matemático, sonaban bastante técnicos y
no demasiado emocionantes:
Cualquier formalización
consistente S en la que se puedan efectuar operaciones aritméticas elementales,
es incompleta respecto de los enunciados de la aritmética elemental; esto es,
hay enunciados cuya verdad o falsedad no se puede demostrar dentro de S.
Para cualquier
formalización consistente S en la que se puedan efectuar operaciones
aritméticas elementales, no es posible probar la consistencia de S dentro de S.
Aunque las palabras
parecen inofensivas, las implicaciones para el proyecto de los formalistas llegaban
lejos. Dicho de una forma algo simplificada, los teoremas de incompletitud
demostraban que el plan formalista de Hilbert estaba esencialmente condenado al
fracaso desde el principio. Gödel demostró que cualquier sistema formal lo
bastante potente como para tener algún interés es, de forma inherente, o bien incompleto o bien inconsistente. Es decir, en el mejor de los casos, siempre habrá
enunciados dentro del sistema formal cuya verdad o falsedad no podrán
demostrarse. En el peor de los casos, el sistema generará contradicciones.
Como, para cualquier enunciado T, T o no T tiene que ser verdadero, el hecho de
que un sistema formal finito no pueda demostrar la verdad o falsedad de ciertos
enunciados significa que siempre existirán enunciados verdaderos que no serán demostrables dentro del sistema. En otras
palabras, Gödel demostró que ninguna formalización compuesta por un número
finito de axiomas y reglas de inferencia puede abarcar nunca todas las verdades de la matemática. A lo más que se puede
aspirar es a que las axiomatizaciones más aceptadas sean simplemente
incompletas y no inconsistentes.
El propio Gödel creía
en la existencia de una noción platónica independiente de verdad matemática. En
un artículo publicado en 1947 escribía lo siguiente:
Pero, a pesar de estar
tan apartados de la experiencia de los sentidos, sí tenemos una especie de
percepción de los objetos de la teoría de conjuntos, como se puede deducir del
hecho de que los axiomas nos parezcan forzosamente verdaderos. No veo motivo
alguno para que debamos tener menos confianza en este tipo de percepción, es
decir, en la intuición matemática, que en la percepción de los sentidos.[228]
Por una ironía del
destino, cuando los formalistas ya se preparaban para cantar victoria, apareció
Kurt Gödel (platónico declarado) y hundió la fiesta del proyecto formalista.
El famoso matemático
John von Neumann (1903-1957), que en aquella época impartía en sus clases la
obra de Hilbert, canceló el resto del curso para dedicar el tiempo que quedaba
a los hallazgos de Gödel.
Como persona, Gödel era
tan complejo como sus teoremas.[229] En 1940 huyó con su esposa
Adele de la Austria nazi para ocupar un puesto en el Instituto de Estudios
Avanzados de Princeton, New Jersey. Allí trabó una estrecha amistad con Albert Einstein,
a quien solía acompañar en sus paseos. Cuando Gödel solicitó la nacionalización
como ciudadano americano en 1948, fueron Einstein y el matemático y economista
de la Universidad de Princeton Oskar Morgenstern (1902-1977) quienes le
acompañaron a la oficina del Servicio de Inmigración y Naturalización (INS). Lo
que aconteció en esta entrevista es de sobra conocido, pero revela hasta tal
punto la personalidad de Gödel que relataré los hechos con todo detalle, exactamente como los registró
Morgenstern el 13 de septiembre de 1971. Doy las gracias a Ms. Dorothy
Morgenstern-Thomas, la viuda de Morgenstern, y al Instituto de Estudios
Avanzados por haberme facilitado una copia del documento:
Corría el año 1946
cuando Gödel iba a convertirse en ciudadano americano. Me pidió que fuese su
testigo; como segundo testigo propuso a Albert Einstein, que también aceptó de
buen grado. Einstein y yo nos habíamos visto ocasionalmente, y ambos teníamos
grandes expectativas sobre lo que podía ocurrir antes del proceso de naturalización
e incluso durante dicho proceso.
Gödel, a quien veía con
frecuencia en los meses previos al acontecimiento, empezó a prepararse de forma
muy concienzuda. Gödel era una persona meticulosa, así que empezó a estudiar la
historia de la colonización de Norteamérica por el ser humano. Eso le condujo
al estudio de la historia de los indios americanos, sus diversas tribus, etc.
Me llamó numerosas veces por teléfono para que le aconsejase libros, que leía
con suma atención. Gradualmente surgieron muchas preguntas y dudas sobre la
corrección de estas historias y las peculiares circunstancias que en ellas se
revelaban. A partir de ahí y durante las semanas posteriores, Gödel pasó a
estudiar historia americana, haciendo particular hincapié en temas de derecho
constitucional. Esto le condujo a su vez al estudio de Princeton, y en especial
quiso que yo le explicase dónde estaba la frontera entre el distrito y el
municipio. Por supuesto, yo intenté hacerle comprender que esto era totalmente
innecesario, pero fue en vano. El insistía en averiguar todos aquellos datos
que quería saber, de modo que le proporcioné la información pertinente, incluso
acerca de Princeton. Entonces quiso saber cómo se elegía el Consejo de
Distrito, el Consejo Municipal, quién era el alcalde y cómo funcionaba el
Consejo Municipal. Pensaba que era posible que le preguntasen acerca de esos
asuntos y que, si demostraba que no conocía la ciudad en que vivía, causaría
una mala impresión.
Intenté convencerlo de
que esas preguntas nunca surgían; de que la mayor parte de las preguntas eran
una simple formalidad y él las podría responder sin dificultad alguna; de que,
como máximo, podían preguntarle qué sistema de gobierno teníamos en este país,
cómo se llamaba la más alta instancia judicial o cosas así. De todos modos, él
siguió con su estudio de la Constitución.
Y entonces sucedió algo
interesante. Con cierta excitación me dijo que, al examinar la Constitución y
para su disgusto, había hallado contradicciones internas y que podía demostrar
cómo, de forma perfectamente legal, era posible que alguien se convirtiese en
dictador e instaurase un régimen fascista que aquellos que redactaron la
Constitución nunca pretendieron. Le dije que era muy improbable que algo así
sucediese nunca, aun suponiendo que tuviese razón, cosa que yo, desde luego,
dudaba. Pero él era una persona insistente, así que charlamos muchas veces de
este asunto concreto. Yo intenté persuadirlo de que evitase referirse a estos
temas ante el tribunal de Trenton, y también se lo comenté a Einstein que,
horrorizado de que a Gödel se le hubiese ocurrido una idea así, también le
señaló que no debía preocuparse por estas cuestiones ni referirse a ellas.
Pasaron varios meses y,
finalmente, llegó la fecha del examen en Trenton. Aquel día pasé a recoger a
Gödel en mi coche. Se sentó en el asiento posterior y luego pasamos a recoger a
Einstein por su casa de Mercer Street, desde donde nos dirigimos a Trenton.
Durante el viaje, Einstein se volvió levemente y preguntó «Y bien, Gödel,
¿estás realmente bien preparado para el examen?» Por supuesto, ese comentario
alteró profundamente a Gödel, que era lo que Einstein pretendía; su semblante
de preocupación de Gödel le pareció muy gracioso. Cuando llegamos a Trenton nos
hicieron entrar en una gran sala y, aunque en general se interroga a los
testigos por separado del candidato, se hizo una excepción en deferencia a
Einstein y nos invitaron a los tres a sentarnos juntos, con Gödel en el centro.
El examinador preguntó primero a Einstein y luego a mí si opinábamos que Gödel
sería un buen ciudadano. Le aseguramos que sin duda alguna era así, que se
trataba de una persona distinguida, etc. Entonces se volvió hacia Gödel y dijo:
—Bien, Mr. Gödel, ¿de
dónde viene usted?
—¿Que de dónde vengo?
De Austria.
—¿Qué forma de gobierno
tenían en Austria?
—Era una república,
pero debido a la constitución la forma cambió a una dictadura.
—¡Vaya! Qué mala
fortuna. Eso no podría suceder en este país.
—Claro que sí. Y puedo demostrarlo.
Así que, de todas las
posibles preguntas, el examinador tuvo que formular precisamente la más
delicada. Einstein y yo nos mirábamos horrorizados durante esta conversación;
el examinador fue lo bastante inteligente para tranquilizar enseguida a Gödel
diciendo «Dios mío, no entremos en ese terreno» y, para nuestro alivio,
interrumpió el examen en ese mismo momento. Cuando por fin salimos y ya nos
dirigíamos hacia los ascensores, un hombre se acercó corriendo hacia nosotros
con una hoja de papel y pidió un autógrafo a Einstein, que lo firmó con mucho
gusto. Mientras bajábamos en el ascensor, le dije a Einstein «Debe de ser
terrible que tantas personas le persigan a uno de este modo». Einstein
respondió: «En realidad se trata simplemente de los últimos vestigios de
canibalismo». Desconcertado, le pregunté: «¿En qué sentido?». El me dijo:
«Verás, antes querían tu sangre, ahora quieren tu tinta».
Luego regresamos a
Princeton y, al llegar a la esquina de Mercer Street, le pregunté a Einstein si
quería ir al instituto o a casa, a lo que él contestó: «Llévame a casa, de
todos modos mi trabajo ya no tiene valor alguno». Y prosiguió con una cita de
una canción política americana (por desgracia no recuerdo sus palabras; es
posible que la tenga en mis notas, y sin duda la reconocería si alguien
sugiriese esa frase en particular). Así que fuimos hacia la casa de Einstein de
nuevo. Einstein se volvió de nuevo hacia Gödel y le dijo:
—Bueno, Gödel, éste ha
sido tu penúltimo examen.
—Cielos, ¿es que aún
queda otro? —dijo él, de nuevo azorado.
Y Einstein le contestó:
—Gödel, el próximo
examen será cuando entres andando en tu tumba.
—Pero Einstein, yo no
entraré andando en mi tumba. —A lo que Einstein repuso:
—¡Ahí está la gracia
precisamente, Gödel! —Y se fue. Luego llevé a Gödel a su casa. Todo el mundo
sintió un gran alivio al resolver de una vez por todas este peliagudo asunto;
ahora, Gödel tenía de nuevo la cabeza libre para cavilar sobre problemas de
filosofía y lógica.[230]
Años después, Gödel
sufriría episodios de enfermedad mental que acabaron en su rechazo a comer.
Murió el 14 de enero de 1978 de desnutrición y agotamiento. Es un error muy
extendido pensar que los teoremas de incompletitud de Gödel implican que
algunas verdades no se conocerán jamás. Tampoco podemos deducir de ellos que la
capacidad del entendimiento humano está limitada de algún modo. En realidad,
los teoremas demuestran únicamente los puntos débiles y los inconvenientes de
los sistemas formales. Por tanto, quizá resulte sorprendente saber que, a pesar
de la colosal trascendencia de los teoremas en la filosofía de la matemática,
su impacto sobre la eficacia de ésta como mecanismo de construcción de teorías
ha sido, en realidad, bastante nimio. De hecho, durante las décadas que
siguieron a la publicación de la demostración de Gödel, la matemática alcanzó
algunos de sus más espectaculares éxitos en las teorías físicas del universo.
Lejos de quedar
abandonada por falta de fiabilidad, la matemática y sus conclusiones lógicas se
hicieron cada vez más esenciales para la comprensión del cosmos. Sin embargo,
eso significaba que el misterio de la «inexplicable eficacia» de la matemática
se hizo aún más insondable. Vamos a reflexionar: imaginemos lo que hubiera
sucedido si el empeño logicista se hubiese visto coronado por el éxito. Esto
habría implicado que la matemática deriva por completo de la lógica;
literalmente, de las leyes del pensamiento. Pero ¿cómo es posible que una
ciencia tan puramente deductiva se adapte de esa forma maravillosa a los
fenómenos naturales? ¿Cuál es la relación entre la lógica formal (podríamos
incluso decir la lógica formal humana) y el cosmos? Después de Hilbert y Gödel,
la respuesta a estas preguntas seguía siendo borrosa. Ahora, todo lo que
teníamos era un «juego» formal incompleto expresado en lenguaje matemático.[231]
¿Cómo pueden los modelos basados en un sistema tan «poco fiable» penetrar con
profundidad en el enigma del universo y su funcionamiento? Antes de intentar
dar respuesta a estas preguntas, voy a afinarlas un poco más por el método de
examinar algunos casos prácticos que demuestran la sutileza de la eficacia de
la matemática.
Continua en:
Continua en:
¿Es Dios un Matemático? Mario Livio 2009 Capitulo VIII ¿Eficacia inexplicable?
[204] Para una biografía
completa véase MacHale 1985. <<
[205] Boole 1854. <<
[206] La conclusión de Boole
fue que, en lo que respecta a la creencia en la existencia de Dios, los
«débiles avances ilógicos y basados en la fe de un entendimiento de facultades
y conocimientos limitados son más provechosos que los ambiciosos intentos de
llegar a una certidumbre inalcanzable en el terreno de la religión natural».
<<
[207] Frege 1879. Se trata
de una de las obras esenciales en la historia de la lógica. <<
[208] Frege 1893, 1903.
<<
[209] Para un comentario
general sobre las ideas y el formalismo de Frege véanse, por ejemplo, Resnik
1980, Demopoulos y Clark 2005, Zalta 2005, 2007 y Boolos 1985. Para un
excelente comentario general sobre la lógica matemática véase DeLong 1970.
<<
[210] Frege 1884. <<
[211] La paradoja de Russell
y sus implicaciones y posibles soluciones se tratan, por ejemplo, en Boolos
1999, Clark 2002, Sainsburg 1988 e Irvine 2003. <<
[212] Whitehead y Russell
1910. Véase Russell 1919 para una descripción sencilla pero esclarecedora sobre
el contenido de los Principia.<<
[213] Para conocer más
acerca de la interacción entre las ideas de Russell y de Frege véase Beaney
2003. Para más información sobre el logicismo de Russell véase Shapiro 2000 y
Godwyn e Irvine 2003. <<
[214] Urquhart 2003 contiene
un excelente comentario al respecto. <<
[215] La teoría de tipos ha
perdido predicamento entre la mayoría de los matemáticos. Sin embargo, una
construcción similar ha hallado nuevas aplicaciones en programación de
ordenadores. Véase por ejemplo Mitchell 1990. <<
[216] Una descripción de sus
contribuciones se puede ver en Ewald 1996. <<
[217] Véase Van Heijemoort
1967 para traducciones inglesas de los documentos originales de Zermelo,
Fraenkel y el lógico Thoralf Skolem. Devlin 1993 contiene una relativamente
sencilla introducción a los conjuntos y a los axiomas de Zermelo-Fraenkel.
<<
[218] En Moore 1982 se puede
hallar un detallado comentario acerca del axioma. <<
[219] Cantor ideó un método para
comparar la cardinalidad de conjuntos infinitos. En concreto, demostró que la
cardinalidad del conjunto de los números reales es mayor que la del conjunto de
los números enteros. A continuación formuló la hipótesis del continuo, que
afirmaba que no hay ningún conjunto cuya cardinalidad se halle estrictamente
entre la de los números enteros y la de los números reales. Cuando David
Hilbert planteó sus famosos problemas de la matemática en 1900, el primero fue
la cuestión de la verdad o falsedad de la hipótesis del continuo. Woodin
2001a,b contiene un comentario relativamente reciente de este problema.
<<
[220] Describió su trabajo
en Cohen 1966. <<
[221] Una buena descripción
de los planes de Hilbert se puede hallar en Seig 1988. En Shapiro 2000 se
presenta un repaso excelente y actualizado de la filosofía de la matemática y
un resumen de las tensiones entre logicismo, formalismo e intuicionismo.
<<
[222] Hilbert pronunció esta
conferencia en Leipzig en septiembre de 1922. El texto se encuentra en Ewald 1996.
<<
[223] Véase Detlefsen 2005
para un excelente comentario sobre formalismo. <<
[224] Monk 1990 presenta una
magnífica biografía. <<
[225] En Waismann 1979.
<<
[226] Véase Goldstein 2005
para una biografía reciente. La biografía estándar ha sido Dawson 1997.
<<
[227] Hofstadter 1979, Nogel
y Newman 1959 y Franzen 2005 son textos excelentes acerca de los teoremas de
Gödel, su significado y su relación con otras ramas del conocimiento. <<
[228] Gödel 1947. <<
[229] Wang 1996 contiene una
descripción exhaustiva de los puntos de vista filosóficos de Gódel y de cómo
relacionaba estas ideas con las bases de la matemática. <<
[230] Morgenstem 1971.
<<
[231] Se trata claramente de
una simplificación excesiva, sólo admisible en un texto divulgativo. De hecho,
aún en la actualidad prosiguen algunos intentos serios de dar vida al
logicismo. Estos suelen asumir que muchas de las verdades matemáticas se pueden
conocer a priori. Véanse, por ejemplo, Wright 1997, Tennant 1997. <<
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