Las dos preguntas: (i)
¿Tiene la matemática una existencia independiente de la mente humana?, y (ii)
¿Por qué los conceptos matemáticos son aplicables mucho más allá del contexto
en el que se desarrollaron originalmente?, están relacionadas entre sí por
caminos complejos. Pero, para simplificar el comentario, voy a intentar
encararlas una tras otra.
En primer lugar podemos
preguntarnos cuál es la posición de los matemáticos actuales sobre la cuestión
de si la matemática es un descubrimiento o un invento. En su espléndido libro The Mathematical Experience, los
matemáticos Philip Davis y Reuben Hersh describen la situación del siguiente
modo:[254] «La mayor parte de los autores parecen estar de acuerdo
en que un matemático típico es platónico (es decir, opina que es un
descubrimiento) los días laborables y un formalista (es decir, piensa que es un
invento) los domingos. Esto es, cuando el matemático está haciendo matemática,
está convencido de que trata con una realidad objetiva cuyas propiedades
intenta determinar. En cambio, si se le obliga a dar una versión filosófica de
esta realidad, prefiere fingir que, después de todo, no cree en ella».
Aparte de la tentación
de hablar de «los matemáticos y las matemáticas» para reflejar los cambios
demográficos en la disciplina, tengo la impresión de que esta caracterización
sigue siendo cierta para muchos de los actuales matemáticos y físicos teóricos.
Sin embargo, algunos matemáticos del siglo XX tomaron un claro partido por una
u otra postura. En representación del punto de vista platónico tenemos a G. H.
Hardy, que afirma en A Mathematician's
Apology:[255]
No es mi intención
discutir aquí ninguna de estas cuestiones, ni siquiera en el supuesto de que
tuviese la competencia para ello, pero, para evitar malentendidos, expondré mi
postura de forma dogmática. Creo que la realidad matemática reside fuera de
nosotros, que nuestra función es descubrirla y observarla, y que los teoremas
que demostramos y que, pecando de grandilocuencia, denominamos «nuestras
creaciones», son simples anotaciones de nuestras observaciones. Este ha sido,
de uno u otro modo, el punto de vista sostenido por numerosos y reputados
filósofos empezando por Platón, y a partir de ahora utilizaré el lenguaje
natural de una persona que es partidaria de él.
Los matemáticos Edward
Kasner (1878-1955) y James Newman (1907-1966) expresaban justamente la postura
contraría en Mathematics and the
Imagination:[256]
No es sorprendente que
el prestigio de la matemática no tenga parangón en ningún otro campo del
pensamiento intencional; el número de avances científicos que ha hecho posible
hacen que sea a un tiempo indispensable desde un punto de vista práctico y la obra
cumbre de la abstracción pura, de modo que el reconocimiento de su papel
destacado entre las hazañas intelectuales de la humanidad no es ni más ni menos
que el reconocimiento de un mérito real.
Pero, a pesar de esta
preeminencia, la primera valoración significativa de la matemática tuvo lugar
recientemente, con la aparición de la geometría no euclidiana y la geometría
tetradimensional. Eso no significa que se deban minimizar los avances
efectuados en el cálculo, la teoría de probabilidades, la aritmética del
infinito, la topología y otras ramas que hemos comentado. Cada uno de estos
avances ha ampliado la visión de la matemática y profundizado en su
significado, así como en nuestra comprensión del universo físico. Sin embargo,
ninguno de ellos ha contribuido a la introspección matemática, al conocimiento
de las relaciones entre las distintas partes de la disciplina entre sí y con el
conjunto en mayor medida que las herejías no euclidianas.
El coraje del espíritu
crítico que se halla en la génesis de estas herejías nos ha permitido superar
la noción de que las verdades matemáticas tienen una existencia independiente
externa a nuestras mentes. Ahora incluso nos parece extraño que tal noción
pudiese haber existido. Y sin embargo, es lo que hubiesen creído Pitágoras,
Descartes y cientos de otros grandes matemáticos antes del siglo XIX. En la
actualidad, la matemática ha roto sus cadenas y se ha liberado de sus
fronteras. Sea cual sea su esencia, ahora reconocemos que es tan libre como la
mente y tan indómita como la imaginación. La geometría no euclidiana demuestra
que la matemática, a diferencia de la música de las esferas, es obra de la mano
del hombre y está sujeta únicamente a las limitaciones que le imponen las leyes
del pensamiento.
Vemos aquí, en
contraste con la precisión y la certeza que caracterizan las afirmaciones
matemáticas, una divergencia de opiniones más propia de los debates filosóficos
o políticos. Pero esto no debería sorprendernos. La cuestión de si la
matemática es inventada o descubierta no es, en realidad, una cuestión
matemática.
La noción de
«descubrimiento» implica una existencia previa en algún universo, ya sea real o
metafísico. El concepto de «invento» implica a la mente humana, ya sea de forma
individual o colectiva. Entonces, la pregunta está relacionada con una
combinación de disciplinas entre las que pueden hallarse la física, la
filosofía, la matemática, la ciencia cognitiva e incluso la antropología, pero
desde luego no es exclusiva la matemática (o, al menos, no de forma directa).
En consecuencia, es posible que no sean los matemáticos los que mejor puedan
responderla. Después de todo, aunque los poetas pueden hacer magia con las
palabras, posiblemente no sean los mejores lingüistas, del mismo modo que los
filósofos más profundos no suelen ser expertos en las funciones del cerebro. La
respuesta a la cuestión «inventada o descubierta» sólo puede proceder (si es
que realmente es posible hallarla) de un cuidadoso examen de numerosas claves
procedentes de una amplia variedad de disciplinas.
Metafísica, física y cognición
Los que creen que la
matemática existe en un universo independiente de los humanos pueden aún
dividirse en dos tipos en lo que respecta a la identificación de la naturaleza
de este universo.[257] En primer lugar se encuentran los
«verdaderos» platónicos, para los que la matemática reside en un mundo eterno y
abstracto de formas matemáticas. Luego están los que sugieren que las
estructuras matemáticas son una parte real del mundo natural. Ya hemos tratado
el platonismo puro y algunas de sus limitaciones filosóficas con cierta
amplitud, de modo que voy a entrar en detalles acerca de la otra perspectiva.[258]
Quizá la persona que
abogue por la versión más extrema y especulativa de la tesis de «la matemática
como parte del mundo físico» sea un compañero astrofísico, Max Tegmark del
Massachussets Institute of Technology.
Tegmark sostiene que
«nuestro universo no sólo se describe mediante la matemática, sino que es matemática» (la cursiva es mía).[259]
Su argumento empieza por la hipótesis no especialmente polémica de que existe
una realidad física externa independiente de los seres humanos. A continuación
pasa a examinar cuál podría ser la naturaleza de una teoría que englobase dicha
realidad (lo que los físicos llaman una «Teoría de todo»). Al ser este mundo
físico totalmente independiente de los humanos, sigue Tegmark, su descripción
debe estar libre de cualquier «carga» humana (en particular, el lenguaje
humano). En otras palabras, la teoría definitiva no puede incluir conceptos
tales como «partículas subatómicas», «cuerdas vibratorias», «deformación del
espacio-tiempo» u otros constructos concebidos por el hombre. Partiendo de esta
base, Tegmark llega a la conclusión de que la única descripción posible del
cosmos implica únicamente conceptos abstractos y relaciones entre ellos, lo que
para él constituye la definición operativa de la matemática.
El argumento de Tegmark
para una realidad matemática es realmente fascinante y, en el caso de resultar
cierto, supondría un avance crucial hacia la solución del problema de la
«inexplicable eficacia» de la matemática. En un universo identificado con la
matemática, el hecho de que esta disciplina se ajuste como un guante al
comportamiento de la naturaleza no puede resultar sorprendente. Por desgracia,
en mi opinión el razonamiento de Tegmark no es especialmente persuasivo. El
salto de la existencia de la realidad externa (independiente de los seres
humanos) a la conclusión de que, en palabras de Tegmark, «es necesario creer en
lo que yo denomino la hipótesis del universo matemático: que nuestra realidad
física es una estructura matemática», implica, en mi opinión, un juego de
prestidigitación. Tegmark intenta caracterizar lo que realmente es la
matemática con estas palabras: «Para el lógico moderno, una estructura
matemática es precisamente un conjunto de entidades abstractas y las relaciones
entre ellas». ¡Pero este lógico moderno es humano! En otras palabras, Tegmark
no demuestra en ningún momento que
nuestra matemática no ha sido inventada por los seres humanos, sino que se
limita a darlo por sentado. Además, tal como señala el neurobiólogo francés
Jean-Pierre Changeux en respuesta a una tesis similar: «Afirmar la realidad
física de los objetos matemáticos en el mismo nivel que los fenómenos naturales
que se estudian en biología plantea, en mi opinión, un considerable problema
epistemológico. ¿Cómo puede un estado físico interno de nuestro cerebro
representar otro estado físico externo a él?».[260]
Otros intentos de
situar los objetos matemáticos en la realidad física externa se apoyan
simplemente en la eficacia de la matemática para explicar la naturaleza. Pero
en estos casos se supone que no es posible ninguna otra explicación de la
eficacia de la matemática, lo que, como mostraré más adelante, es falso.
Si la matemática no
reside en el mundo platónico, fuera del espacio y del tiempo, ni en el mundo
físico, ¿significa que es únicamente un invento de los seres humanos? Por
supuesto que no. De hecho, mi razonamiento en la próxima sección será que la
mayoría de la matemática consiste en descubrimiento. Pero, antes de avanzar más
allá, será útil examinar las opiniones de los científicos cognitivos
contemporáneos. El motivo es que, aunque la matemática consistiese únicamente
en descubrimientos, serían de todos modos descubrimientos llevados a cabo por
matemáticos humanos utilizando sus cerebros.
Con el fabuloso avance
de las ciencias cognitivas en los últimos años, era lógico pensar que los
neurobiólogos y los psicólogos prestasen atención a la matemática y,
específicamente, a la búsqueda de los fundamentos de la matemática en la
cognición humana. Un somero repaso a las conclusiones de la mayor parte de
científicos cognitivos puede traer a la mente la frase de Mark Twain: «Si un
hombre empuña un martillo, todo le parece un clavo». Salvo por pequeñas
variaciones en el énfasis, prácticamente todos los neuropsicólogos y biólogos
determinan que la matemática es un invento humano. Sin embargo, al prestar una
mayor atención a los detalles, se aprecia que, a pesar de que la interpretación
de los datos cognitivos es más bien ambigua, no hay duda de que el punto de
vista cognitivo representa una fase nueva y pionera en la búsqueda de los
fundamentos de la matemática. He aquí una pequeña pero representativa muestra
de los comentarios de los científicos cognitivos.
El neurocientífico
francés Stanislas Dehaene, cuyo principal interés es la cognición de los
números, concluía en su libro de 1997 The
Number Sense: «La intuición de los número está profundamente implantada en
nuestro cerebro».[261] Esta postura es, de hecho, próxima a la de
los intuicionistas, que pretendían basar toda la matemática en la forma pura de
la intuición de los números naturales. Dehaene razona que los descubrimientos
efectuados en psicología acerca de la aritmética confirman que «el número forma
parte de los objetos naturales del pensamiento, las categorías innatas mediante
las cuales percibimos el mundo».
A partir de otro
estudio llevado a cabo con los Mundurukú (un grupo indígena amazónico
completamente aislado), Dehaene y sus colaboradores agregaron un juicio similar
acerca de la geometría en 2006: «La comprensión espontánea de los conceptos
geométricos y de los mapas por parte de esta remota comunidad humana ofrece
pruebas de que los conocimientos geométricos fundamentales, igual que la
aritmética básica, son constituyentes universales de la mente humana».[262]
Pero no todos los científicos cognitivos están de acuerdo con estas
conclusiones.[263] Algunos señalan, por ejemplo, que el éxito
obtenido por los Mundurukú en el reciente estudio geométrico, en el que tenían
que identificar una curva entre líneas rectas, un rectángulo entre cuadrados,
una elipse entre círculos, etc., podría tener más relación con su capacidad
visual para distinguir un objeto distinto entre otros iguales que un
conocimiento geométrico innato.
El neurobiólogo francés
Jean-Pierre Changeux, en un fascinante diálogo acerca de la naturaleza de la
matemática con el matemático (de sensibilidad platónica) Alain Connes,
publicado en Conversations on Mind,
Matter, and Mathematics observaba lo siguiente:[264] «La razón
de que los objetos matemáticos no tienen nada que ver con el mundo perceptible
tiene que ver … con su carácter generativo, su capacidad de dar origen a otros
objetos. Es necesario destacar aquí que existe en el cerebro lo que podríamos
llamar un “compartimiento consciente”, una especie de espacio físico para la
simulación y creación de nuevos objetos … En algunos sentidos, estos nuevos
objetos matemáticos se comportan como seres vivos: como los seres vivos, son
objetos físicos susceptibles de evolucionar de forma muy rápida; a diferencia
de los seres vivos, con la excepción específica de los virus, evolucionan en
nuestro cerebro».
Finalmente, la
afirmación más categórica en el debate de invención contra descubrimiento la
efectuaron el lingüista cognitivo George Lakoff y el psicólogo Rafael Núñez en
su controvertido libro Where Mathematics
Comes From, en el que declaraban:[265]
La matemática es una
parte natural de nuestra condición humana; surge de nuestro cuerpo, de nuestro
cerebro y de nuestra experiencia cotidiana del mundo. (Lakoff y Núñez hablan
pues de la matemática como algo que surge de una «mente encarnada») … La
matemática es un sistema de conceptos humanos que utiliza de forma
extraordinaria las herramientas ordinarias de la cognición humana … Los seres
humanos somos los responsables de la creación de la matemática, y de su
conservación y ampliación. El retrato de la matemática tiene rostro humano.
Los científicos
cognitivos basan sus conclusiones en lo que consideran una persuasiva
abundancia de pruebas que son el resultado de numerosos experimentos. Algunas
de estas pruebas incluyen estudios con imágenes funcionales del cerebro durante
la realización de tareas matemáticas. Otros han examinado la competencia
matemática de niños, de grupos de cazadores-recolectores que no han sufrido
escolarización, como los Mundurukú, y de personas con diversos grados de daños
cerebrales. Casi todos los investigadores están de acuerdo en que algunas
capacidades matemáticas parecen ser innatas. Por ejemplo, todos los humanos son
capaces de apreciar de un vistazo si están viendo uno, dos o tres objetos (esta
capacidad se denomina subitizar). Una
versión muy limitada de la aritmética (las operaciones de agrupar, emparejar y
adiciones y sustracciones muy simples) podría también ser innata, del mismo
modo que una comprensión muy básica de los conceptos geométricos (aunque esta
última afirmación es más polémica). Los neurocientíficos han identificado
también regiones del cerebro, como el giro angular en el hemisferio izquierdo,[266]
que parecen ser esenciales para la manipulación de números y cálculos
matemáticos, pero que no son esenciales para el lenguaje ni para la memoria operativa.
Según Lakoff y Núñez,
una de las principales herramientas para el avance más allá de las habilidades
innatas es la construcción de metáforas conceptuales mediante procesos que
traducen conceptos a otros más concretos. Por ejemplo, la concepción de la
aritmética se fundamenta en una metáfora básica, la de la recolección de
objetos. Por otra parte, el álgebra de clases de Boole, más abstracta,
vinculaba de forma metafórica clases a números. El elaborado escenario
desarrollado por Lakoff y Núñez ofrece puntos de vista interesantes sobre las
razones por las que los seres humanos encuentran algunos conceptos matemáticos
mucho más difíciles que otros. Otros investigadores, como la neurocientífica
cognitiva Rosemary Varley de la Universidad de Sheffield,[267]
sugieren que como mínimo algunas estructuras matemáticas parasitan la facultad
del lenguaje, es decir, las capacidades matemáticas se desarrollan a partir de
las herramientas mentales utilizadas para construir el lenguaje.
Los científicos
cognitivos abogan claramente por una asociación de nuestra matemática con la
mente humana y se oponen al platonismo. De todos modos, es interesante apreciar
que el argumento, en mi opinión, más claro contra el platonismo no viene de la
neurobiología, sino de sir Michael Atiyah, uno de los matemáticos más insignes
del siglo XX. De hecho, ya mencioné su línea de razonamiento en el capítulo 1,
pero ahora me gustaría presentarla con mayor detalle.
Si tuviese que elegir
el concepto de nuestra matemática con mayor probabilidad de existir de forma
independiente de la mente humana, ¿cuál elegiría? La mayor parte de las
personas llegarían posiblemente a la conclusión de que deben ser los números
naturales. ¿Qué puede haber más «natural» que 1, 2, 3…? Incluso el matemático
alemán Leopold Kronecker (1823-1891), de tendencia intuicionista, declaró:
«Dios creó los números naturales. Todo lo demás es obra del hombre». Así, si se
pudiese demostrar que incluso el concepto de número natural tiene su origen en
la mente humana, representaría un gran avance en favor del paradigma del
«invento». Atiyah expone de este modo sus argumentos como ya vimos: «Pero
imaginemos que la inteligencia no se hubiese desarrollado en el hombre, sino en
una especie de medusa colosal, solitaria y aislada en los abismos del océano
Pacífico. Este ente no tendría experiencia alguna de los objetos individuales,
ya que sólo estaría rodeado de agua. Sus datos sensoriales básicos se
reducirían a movimiento, temperatura y presión. En este continuo puro, el
concepto de discreto no podría surgir ni, por consiguiente, habría nada que
contar».[268] En otras palabras, Atiyah está convencido de que
incluso algo tan básico como el concepto de número natural ha sido creado por los seres humanos mediante la
abstracción (o, como dirían los científicos cognitivos, a través de metáforas
primarias) de elementos del mundo físico. Dicho de otro modo, el número 12, por
ejemplo, representa una abstracción común a todos los objetos que van agrupados
en docenas, de la misma forma que la palabra «pensamientos» representa una
diversidad de procesos que tienen lugar en nuestro cerebro.
El lector puede poner
objeciones al uso como prueba del universo hipotético de la medusa,
argumentando que sólo existe un único universo inevitable y que cada suposición
debe examinarse en el contexto de este universo. Sin embargo, esto sería
equivalente a admitir que el concepto de número natural depende de algún modo
del universo de experiencias humanas. Obsérvese que Lakoff y Núñez se referían
precisamente a esto cuando hablaban de la matemática como algo «encarnado».
Hasta ahora he
argumentado que los conceptos de nuestra matemática tienen su origen en la
mente humana, y quizá se pregunte por qué había insistido anteriormente en que
gran parte de la matemática es, de hecho, descubierta, lo que parece estar más
próximo al platonismo.
Invento y descubrimiento
En el lenguaje
cotidiano, la distinción entre invento y descubrimiento es en ocasiones de una
claridad meridiana, mientras que en otras es algo más borroso. Nadie diría que
Shakespeare descubrió Hamlet ni que Madame Curie inventó el radio. Al mismo
tiempo, los nuevos fármacos para el tratamiento de ciertas enfermedades se
suelen anunciar como descubrimientos, a pesar de que con frecuencia implican la
meticulosa síntesis de nuevos compuestos químicos. Me gustaría describir en
cierto detalle un ejemplo matemático muy específico que ayudará, no sólo a
aclarar la diferencia entre invento y descubrimiento, sino que ofrecerá también
valiosa información sobre los procesos de evolución y progreso de la
matemática.
En el Libro VI de los Elementos, la monumental obra de
Euclides sobre geometría, hay una definición de cierta división de una línea en
dos partes desiguales (el Libro II contiene otra definición, en términos de
áreas). Según Euclides, si una línea AB se divide mediante un punto C de tal
modo (figura 62) que la relación entre las longitudes de los dos segmentos
(AC/CB) sea igual a la de la línea dividida por el segmento más largo (AB/AC),
se dice que la línea se ha dividido en «extrema y media razón».
Dicho de otra forma, si
AC/CB = AB/AC, cada una de estas proporciones se denomina «razón extrema y
media». Desde el siglo XIX, esta razón se denomina popularmente Razón áurea.[269] Basta un
poco de álgebra básica para hallar que la razón áurea es igual a (1 + √5)/2 =
1,6180339887…
La primera pregunta que
uno puede plantearse es por qué Euclides se tomó el trabajo de definir esta
división en especial y asignar un nombre a la razón. Después de todo, una línea
se puede dividir de infinitas formas. La respuesta a esta pregunta se halla en
la herencia cultural y mística de los pitagóricos y de Platón. Recordemos que
los pitagóricos estaban obsesionados por los números. Pensaban que los números
impares eran masculinos y buenos y, mostrando un cierto prejuicio, que los
pares eran femeninos y malos. Tenían una afinidad especial por el número 5, la
unión del 2 y del 3, el primer número par (femenino) y el primero impar
(masculino). (El número 1 no se consideraba un número, sino el generador de
todos los números). Así, para los pitagóricos, el número 5 representaba el amor
y el matrimonio, y utilizaban el pentagrama (la estrella de cinco puntas de la
figura 63) como símbolo de su hermandad.
Y aquí es donde hace su
aparición por primera vez la razón áurea. Si se toma un pentagrama regular, la
razón entre el lado de cualquiera de los triángulos y su base implícita (a/b en
la figura 63) es precisamente igual a la razón áurea. De forma similar, la
razón entre cualquiera de las diagonales de un pentágono regular y su lado (c/d
en la figura 64) es también igual a la razón áurea.
De hecho, para
construir un pentágono con una regla y un compás (el proceso habitual de
construcción geométrica para los antiguos griegos) es necesario dividir una
línea según la razón áurea.
Platón agregó un nuevo
aspecto al significado mítico de la razón áurea. Los antiguos griegos creían
que todo el universo se componía de cuatro elementos: tierra, fuego, aire y
agua. En Timeo, Platón intentaba
explicar la estructura de la materia utilizando los cinco sólidos regulares que
actualmente llevan su nombre, los sólidos
platónicos (figura 65).
Estos sólidos convexos
(el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro) son los
únicos cuyas caras son polígonos regulares iguales (en cada sólido) y cuyos
vértices se hallan sobre una esfera. Platón asoció cuatro de los sólidos con
los cuatro elementos cósmicos básicos. Por ejemplo, la Tierra estaba asociada
con el estable cubo, el penetrante fuego con el puntiagudo tetraedro, el aire
con el octaedro y el agua con el icosaedro. Acerca del dodecaedro (figura 65
(d)), Platón escribía en Timeo:
«Quedando una sola figura compuesta, la quinta, Dios la utilizó para el Todo, y
la bordó con motivos y dibujos». Así, el dodecaedro representaba el universo en
su conjunto. Vale la pena observar que la razón áurea es parte indisoluble del
dodecaedro, con sus doce caras pentagonales. Tanto su volumen como su
superficie pueden expresarse en función de la razón áurea de forma simple
(también en el caso del icosaedro).
Así, la historia nos
enseña que, a base de muchos ensayos y errores, los pitagóricos y sus
seguidores descubrieron formas de
construir ciertas figuras geométricas que representan conceptos importantes
desde su perspectiva, como el amor y el cosmos en su conjunto. No es
sorprendente que, junto con Euclides (que documentó esta tradición) inventasen el concepto de razón áurea,
relacionado con estas construcciones, y lo nombrasen. A diferencia de cualquier
otra razón arbitraria, el número 1,618… se convirtió en el foco de una intensa
investigación a lo largo de la historia, y en la actualidad sigue apareciendo
en los lugares más insospechados. Por ejemplo, dos milenios después de
Euclides, el astrónomo alemán Johannes Kepler descubrió que este número aparece, de forma casi milagrosa, en
relación con una secuencia numérica denominada serie de Fibonacci. La característica de la serie de Fibonacci (1,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…) es que, a partir del tercero,
cada número es la suma de los dos anteriores (esto es: 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 5
= 2 + 3; etc.). Al dividir cada número de la serie por el inmediatamente
anterior (por ejemplo, 144/89; 233/144 …), se halla que los cocientes oscilan,
pero se van aproximando a la razón áurea al avanzar en la secuencia. Por
ejemplo (redondeando al sexto decimal): 144/89 = 1,617978; 233/144 = 1,618056;
377/233 = 1,618026, etc.
En épocas más modernas,
la serie de Fibonacci (y, junto a ella, la razón áurea) se han hallado en la
disposición de las hojas de algunas plantas (un fenómeno denominado filotaxis) y en la estructura de los
cristales de ciertas aleaciones de aluminio.
¿Por qué considero que
la definición de Euclides del concepto
de razón áurea es un invento? Porque la inventiva de Euclides señaló esta razón
en particular y atrajo a ella la atención de los matemáticos. Por otro lado, en
China, donde el concepto de razón áurea no se había inventado, la literatura matemática no contenía esencialmente
referencia alguna a ella. En la India, en donde tampoco se había inventado el
concepto, la razón áurea aparece de forma lateral únicamente en algunos
insignificantes teoremas de trigonometría.
Se pueden hallar
numerosos ejemplos para demostrar que la pregunta «La matemática ¿es
descubierta o inventada?» está mal planteada. Nuestra matemática es una combinación de inventos y descubrimientos.
Los axiomas de la geometría euclidiana como concepto
fueron un invento, del mismo modo que lo fueron las reglas del ajedrez. Los
axiomas fueron complementados asimismo por otros diversos conceptos inventados,
como triángulos, paralelogramos, elipses, la razón áurea y otros. Por otro
lado, los teoremas de la geometría euclidiana fueron en su mayor parte
descubrimientos; se trataba de los caminos que vinculaban entre sí los
distintos conceptos. En algunos casos, las demostraciones generaron los
teoremas: los matemáticos examinaban lo que podían demostrar y a partir de ahí
deducían los teoremas. En otros casos, como describe Arquímedes en El método, se halló primero la respuesta a determinada cuestión de
interés y, a continuación, se averiguaba la demostración.
En general, los
conceptos eran inventados. Como concepto,
los números primos eran un invento, pero todos los teoremas acerca de números
primos fueron descubiertos.[270] Los matemáticos de la antigua
Babilonia, Egipto y China no inventaron nunca el concepto de número primo, a
pesar del avanzado estado de su matemática. ¿Podríamos decir que simplemente no
habían «descubierto» los números primos? No más de lo que podemos afirmar que
el Reino Unido no «descubrió» una constitución única, codificada y documental.
Del mismo modo que un país puede sobrevivir sin constitución, sin el concepto
de número primo es posible desarrollar una matemática elaborada. ¡Y vaya si lo
era!
¿Sabemos por qué los
griegos inventaron conceptos como los axiomas y los números primos? Aunque no
es posible afirmarlo con seguridad, podemos suponer que formaba parte de su
incansable afán por investigar los constituyentes fundamentales del universo.
Los números primos eran los bloques de construcción básicos de los números, del
mismo modo que los «átomos» lo eran de la materia. De forma parecida, los
axiomas eran la fuente de la que manaban, según se suponía, todas las verdades
de la geometría. El dodecaedro representaba todo el cosmos, y la razón áurea era
el concepto que otorgaba existencia a ese símbolo.
Este debate saca a
relucir otro de los aspectos interesantes de la matemática: que ésta forma
parte de la cultura humana. Una vez que los griegos inventaron el método
axiomático, los matemáticos europeos que vinieron a continuación siguieron sus
pasos y adoptaron la misma filosofía y las mismas prácticas. Como observó el
antropólogo Leslie A. White (1900-1975): «Si Newton se hubiese criado dentro de
la cultura de una tribu de Sudáfrica, hubiese calculado como un miembro de la
tribu».[271] Lo más probable es que sea esta estructura cultural de
la matemática la responsable de que muchos de los descubrimientos matemáticos
(como los invariantes de nudos) e incluso algunos de los principales inventos
(como el cálculo) los hiciesen de forma simultánea varias personas trabajando
de modo independiente.
¿Habla matemática?
En una sección anterior
he comparado la trascendencia del concepto abstracto de un número con el del
significado de una palabra. La matemática ¿es un tipo de lenguaje? Desde el
punto de vista de la lógica matemática, por un lado, y de la lingüística, por
otro, parece que, hasta cierto punto, lo es. Las obras de Boole, Frege, Peano,
Russell, Whitehead, Gödel y sus actuales seguidores (en especial en áreas tales
como la sintaxis y la semántica filosóficas, en paralelo con la lingüística)
han demostrado que la gramática y el razonamiento están íntimamente
relacionados con el álgebra de la lógica simbólica. Entonces, ¿por qué hay más
de 6.500 lenguas pero sólo una matemática?
En realidad, las
distintas lenguas tienen numerosas características de diseño comunes. Por
ejemplo, en la década de 1960, el lingüista norteamericano Charles F. Hockett
(1916-2000) señaló que todas las lenguas tienen incorporados mecanismos para la
adquisición de nuevas palabras y expresiones (por ejemplo, «ratón», «portátil»,
«música indie», etc.).[272] Del mismo modo, las lenguas humanas
permiten expresar la abstracción (por ejemplo, surrealismo, ausencia o
grandeza), la negación (como «no» o «ninguno») y la hipótesis («si la abuela
hubiese tenido ruedas podría haber sido un autobús»).
Quizá dos de las
características más importantes de las lenguas sean el hecho de que son abiertas y su
libertad para responder a estímulos. La primera representa la capacidad
para crear y comprender frases que nunca antes se han dicho.[273]
Por ejemplo, yo podría crear con facilidad una frase como «No se puede reparar
la presa de Hoover con chicle» y, aunque lo más probable es que nunca antes
haya oído esa frase, la entenderá sin ningún problema. La libertad de respuesta
a estímulos es la capacidad de elegir cómo responder a un estímulo recibido, o
incluso si queremos responder. Por ejemplo, la respuesta a la pregunta de la
cantautora Carole King en su canción Will
You Still Love Me Tomorrow? podría ser cualquiera de éstas: «No sé si
seguiré vivo mañana», «Por supuesto», «Ni siquiera te quiero hoy», «No tanto
como a mi perro», «Esta es sin duda tu mejor canción» o incluso «Me pregunto
quién ganará el Open de Australia este año». Muchas de estas características
(abstracción, negación, apertura y capacidad de evolución) son también típicas
de la matemática.[274]
Los lingüistas
cognitivos señalan también que las lenguas humanas utilizan metáforas para expresar
casi cualquier cosa. Y lo que es aún más importante: desde 1957, el año en que
el célebre lingüista Noam Chomsky publicó su revolucionaria obra Syntactic Structures,[275]
una gran parte de los esfuerzos de los lingüistas se han dedicado al concepto de
gramática universal, es decir, los principios subyacentes a todas las lenguas.
Dicho de otro modo, lo que parece una Torre de Babel de diversidad puede en
realidad ocultar una sorprendente similitud estructural. De hecho, si no fuese
así, probablemente los diccionarios nunca hubiesen servido para nada.
Es lícito seguir
preguntándose por la uniformidad de la matemática, tanto en términos temáticos
como de notación simbólica. La primera parte de esa pregunta es especialmente
enigmática. Casi todos los matemáticos opinan que la matemática tal como la
conocemos ha evolucionado a partir de las ramas básicas de la geometría y la
aritmética practicadas en las antiguas civilizaciones de Babilonia, Egipto y
Grecia. No obstante, ¿era realmente inevitable que los inicios de la matemática
se hallasen precisamente en esas disciplinas? En su monumental trabajo Un nuevo tipo de ciencia, el científico
computacional Stephen Wolfram sostenía que no tenía por qué ser así.[276]
En concreto, Wolfram demostraba cómo, a partir de conjuntos de reglas básicas
que actúan como breves programas informáticos (lo que se denomina autómatas celulares) es posible
desarrollar un tipo de matemática radicalmente distinto. Estos autómatas
celulares se podrían utilizar (en principio) como herramientas básicas para
modelar los fenómenos naturales, en sustitución de las ecuaciones diferenciales
que han dominado las ciencias durante tres siglos.
Entonces, ¿qué fue lo
que hizo que las antiguas civilizaciones descubriesen e inventasen nuestro
«tipo» determinado de matemática? No estoy seguro, pero creo que las
particularidades del sistema de percepción de los seres humanos pueden haber
tenido un papel fundamental en ello. Los humanos detectan y perciben con
facilidad aristas, líneas rectas y curvas suaves. Obsérvese, por ejemplo, la
precisión con la que se puede determinar a simple vista si una línea es
perfectamente recta o el poco esfuerzo que cuesta distinguir entre un círculo y
una forma ligeramente elíptica. Estas capacidades perceptivas pueden haber
modelado nuestra experiencia del mundo y, por tanto, habernos guiado hacia una
matemática basada en objetos discretos (aritmética) y figuras geométricas
(geometría euclidiana).
En cuanto a la
uniformidad de la notación simbólica, quizá sea un resultado de lo que se
podría denominar «efecto Microsoft Windows»: todo el mundo utiliza el sistema
operativo de Microsoft, no porque fuese inevitable conformarse a ese estándar,
sino porque, una vez que el sistema operativo empezó a dominar el mercado de
ordenadores, todos tuvieron que adoptarlo para facilitar las comunicaciones y
la disponibilidad de los productos. De forma similar, la notación simbólica
occidental ha impuesto su uniformidad en el mundo de la matemática.
La astronomía y la
astrofísica pueden aún ofrecer interesantes contribuciones a la cuestión del
«invento y descubrimiento». Los estudios más recientes de planetas extrasolares
parecen indicar que alrededor del 5 por 100 de las estrellas poseen al menos un
planeta girando a su alrededor, y que esta proporción permanece, en promedio,
aproximadamente constante en toda la Vía Láctea. No se sabe aún qué proporción
de estos planetas es similar a la Tierra,
pero es posible que la galaxia contenga miles de millones de ellos. Aunque sólo
una parte pequeña (pero no despreciable) de esas Tierras estuviesen en la zona habitable (el intervalo de órbitas
que permiten la existencia de agua en estado líquido en la superficie) de sus
estrellas, la probabilidad de que se desarrolle en esos planetas vida en
general y, en particular, vida inteligente, no es nula. Si descubriésemos otra
forma de vida inteligente con la que
podernos comunicar, obtendríamos valiosísima información acerca de los
formalismos que esta civilización habría desarrollado para explicar el cosmos.
Esto supondría, no sólo un colosal avance en nuestra comprensión acerca del
origen y la evolución de la vida, sino que nos permitiría comparar nuestro
sistema lógico con el de estos avanzados seres.
Desde un punto de vista
más especulativo, ciertos escenarios cosmológicos (por ejemplo, el denominado
de inflación eterna) predicen la
posible existencia de múltiples universos. Algunos de estos universos pueden
caracterizarse por poseer no sólo valores distintos de las constantes de la
naturaleza (como la intensidad de las distintas fuerzas o las relaciones entre
las masas de las partículas subatómicas) sino incluso leyes naturales
completamente distintas. El astrofísico Max Tegmark sostiene que incluso
debería haber un universo que correspondiese a (o, en su lenguaje, que fuese) cada posible estructura
matemática.[277] En tal caso, estaríamos hablando de una forma
radical de la perspectiva «el universo es
la matemática»; no sólo hay un mundo que se puede identificar con la
matemática, sino un conjunto de ellos. Por desgracia, esta especulación no sólo
es extremadamente radical e imposible de comprobar; también parece contradecir
(al menos, en su forma más simple) lo que se ha dado en denominar principio de mediocridad.[278]
Se puede aplicar un argumento similar a las propiedades de los universos. Pero
el número de posibles estructuras matemáticas se incrementa de forma
espectacular al aumentar la complejidad. Esto se traduce en que la estructura
más «mediocre» (más cercana a la media) debería de ser increíblemente compleja,
lo que parece contradecir la relativa simplicidad de nuestra matemática y de
nuestras teorías del universo e incumplir así las naturales perspectivas de que
nuestro universo debería de ser un caso típico.
El enigma de Wigner
La pregunta «La
matemática ¿es descubierta o inventada?» no está bien formulada, porque implica
que la respuesta debe ser una o la otra y que ambas posibilidades se excluyen
mutuamente. Mi sugerencia es que la matemática es en parte inventada y en parte
descubierta. Lo habitual es que los seres humanos inventen los conceptos
matemáticos y descubran las relaciones entre estos conceptos. Ciertos
descubrimientos empíricos se efectuaron sin duda antes de la formulación de los
conceptos, pero los propios conceptos ofrecieron un incentivo para el
descubrimiento de teoremas adicionales. También se debe mencionar que ciertos
filósofos de la matemática, como el norteamericano Hilary Putnam, adoptan una
posición intermedia denominada realismo:[279]
creen en la objetividad del discurso matemático (es decir, las frases son
ciertas o falsas, y lo que hace que lo sean es externo a los seres humanos) sin
comprometerse (a diferencia de los platónicos) con la existencia de «objetos
matemáticos». La cuestión es la siguiente: ¿ofrece alguna de estas perspectivas
una explicación satisfactoria del enigma de Wigner acerca de la «eficacia
inexplicable» de la matemática?
Antes de responder,
examinaré algunas de las posibles soluciones formuladas por algunos pensadores
contemporáneos.[280] El premio Nobel de Física David Gross escribe:[281]
… un punto de vista
que, según mi experiencia, no es inusual entre los matemáticos creativos, a
saber, que las estructuras matemáticas que alcanzan no son creaciones de la
mente humana, sino que están dotadas de una característica de naturaleza propia
tan real como las estructuras creadas por los físicos para describir el mundo
denominado real. Dicho de otra forma, los matemáticos no inventan nueva
matemática, sino que la descubren. Si éste fuera el caso, quizá una parte de
los enigmas que venimos explorando* [* La «eficacia inexplicable». (N. del a.)] no sean en realidad tan
misteriosos. Si la matemática versa sobre estructuras que forman parte real del
mundo natural, tan real como los conceptos de la física teórica, no es
sorprendente que se trate de una herramienta eficaz en el análisis del mundo
real.
Dicho de otro modo, la
postura de Gross es una versión de la perspectiva «matemática como
descubrimiento» que se halla en algún punto intermedio entre el mundo platónico
y el mundo de «el universo es
matemática» (aunque más próxima al punto de vista platónico). Sin embargo, como
hemos podido ver, es complicado apoyar el punto de vista de «matemática como
descubrimiento». Es más: el platonismo no puede dar respuesta a la fabulosa
precisión que he descrito en el capítulo 8 (algo que el propio Gross ha
reconocido).
Sir Michael Atiyah,
cuya perspectiva acerca de la naturaleza
de la matemática comparto en general, plantea el siguiente argumento:[282]
Si se observa el
cerebro en su contexto evolutivo, el misterioso éxito de la matemática dentro
de las ciencias físicas queda explicado, al menos parcialmente. El cerebro ha
evolucionado para tratar con el mundo físico, de modo que no debería
sorprendernos que haya desarrollado un lenguaje, la matemática, adecuado para
esta finalidad.
Este tipo de
razonamiento es muy similar a las soluciones propuestas por los científicos
cognitivos. Sin embargo, Atiyah reconoce también que no se trata de una
explicación satisfactoria para los aspectos más peliagudos del problema (por
ejemplo, la forma en que la matemática arroja luz sobre los aspectos más
esotéricos del mundo físico) y, en particular, deja completamente en el aire la
cuestión de lo que he venido denominando eficacia
pasiva (es decir, los conceptos matemáticos que hallan aplicación tiempo
después de su invención). Señala Atiyah: «El escéptico puede argumentar que la
lucha por la supervivencia sólo nos exige enfrentarnos a fenómenos en la escala
humana; sin embargo, la teoría matemática parece ser eficaz en todas las
escalas, de la atómica a la galáctica». A lo que sugiere: «Puede que la única
explicación resida en la naturaleza jerárquica abstracta de la matemática, que
nos permite subir y bajar en la escala del mundo de forma comparativamente
sencilla».
El matemático y
científico computacional norteamericano Richard Hamming (1915-1998) hizo
extensas e interesantes aportaciones al debate del enigma de Wigner en 1980.[283]
En primer lugar, acerca de la naturaleza de la matemática, su conclusión era:
«La matemática ha sido fabricada por el hombre y es, por tanto, susceptible de
ser continuamente alterada por él». A continuación proponía cuatro posibles
respuestas para la eficacia inexplicable: (i) los efectos de selección; (ii) la
evolución de las herramientas matemáticas; (iii) el poder de explicación
limitado de la matemática, y (iv) la evolución del ser humano. Voy a explicar
brevemente lo que Hamming quiere decir en cada una de estas respuestas y
señalar los posibles puntos débiles.
Los efectos de
selección son sesgos en los resultados de los experimentos, provocados por la
instrumentación o por la metodología utilizadas. Por ejemplo, un pescador que
utilice una red con agujeros de 25 centímetros de diámetro puede llegar a la
conclusión de que todos los peces miden más de 25 centímetros. Dicho de otra
forma, lo que Hamming sugiere es que, en ciertos casos, «el fenómeno original
surge de las propias herramientas matemáticas utilizadas, y no del mundo real …
una gran parte de lo que vemos está relacionado con el color del cristal con el
que miramos». Para ilustrar su argumento indica que se puede mostrar que
cualquier fuerza que emane simétricamente de un punto (y conserve la energía)
en el espacio de tres dimensiones debe seguir una ley del cuadrado inverso, de
modo que no es sorprendente que la ley de gravitación de Newton sea aplicable.
Aunque el argumento de Hamming es correcto, los efectos de selección no son
capaces de explicar el fantástico nivel de precisión de algunas teorías.
La segunda posible
solución de Hamming se basa en el hecho de que los seres humanos seleccionan y
mejoran de forma continua la matemática para que se adapte a situaciones
concretas. En otras palabras, Hamming propone que estamos asistiendo a lo que podríamos
llamar una «evolución y selección natural» de las ideas matemáticas: los
humanos inventan un gran número de conceptos matemáticos y sólo se seleccionan
los más aptos. Durante años yo mismo he creído que este argumento ofrecía una
explicación completa. El premio Nobel de Física Steven Weinberg proponía una
interpretación similar en su libro El
sueño de una teoría final.[284] ¿Podría ser ésta la explicación del enigma de Wigner? No
cabe la menor duda de que, en efecto, estos procesos de selección y evolución
tienen lugar. Después de filtrar numerosos formalismos y herramientas
matemáticas, los científicos conservan las que funcionan y las actualizan y
modifican a medida que surgen otras mejores. Pero, aunque aceptemos esta idea,
¿por qué existen teorías matemáticas
capaces de explicar el universo?
El tercer argumento de
Hamming es que nuestra impresión de la eficacia de la matemática puede ser, de
hecho, ilusoria, ya que una gran parte del mundo que nos rodea no puede
explicarse mediante la matemática. Esta perspectiva toma fuerza, por ejemplo,
en esta cita del matemático Israïl Moiseevich Gelfand:[285] «Sólo
hay una cosa que sea más inexplicable que la inexplicable eficacia de la
matemática en física, y es su inexplicable ineficacia
en biología». (Las cursivas son mías). Pero no creo que esto baste para dar
explicación al problema de Wigner. Es cierto que, a diferencia de lo que sucede
en la Guía del autoestopista galáctico,
no podemos decir que la respuesta a la vida, el universo y todo lo demás sea 42.
Sin embargo, el número de fenómenos que la matemática sí ayuda a dilucidar es lo bastante grande como para justificar una
explicación. Es más: la variedad de hechos y procesos que se pueden interpretar
desde un punto de vista matemático no hace más que ampliarse continuamente.
Hamming tomó en
consideración una posible cuarta explicación, muy similar a la que había
sugerido Atiyah: que la «evolución darwiniana seleccionaría de forma natural
para su supervivencia las formas de vida en competición que tuviesen en su
mente los mejores modelos de la realidad», siendo «los mejores» los más aptos
para la supervivencia y la propagación.
El científico
computacional Jef Raskin (1943-2005), uno de los iniciadores del proyecto
Macintosh para Apple Computer, tenía un punto de vista similar, con especial
énfasis en la función de la lógica. Su conclusión era que:
La lógica humana nos ha
sido impuesta por el mundo físico y es, por tanto, coherente con él. La
matemática deriva de la lógica, y por ese motivo es coherente con el mundo
físico. No es ningún misterio, pero eso no significa que debamos perder nuestra
capacidad de sorprendernos y maravillarnos ante la naturaleza a medida que
llegamos a comprenderla mejor.
Hamming, que no estaba
tan convencido, a pesar de la solidez de sus propios argumentos, señaló que:
Si se toma como edad de
la ciencia 4.000 años, se obtiene generalmente un límite superior de 200
generaciones. Considerando los efectos de la evolución mediante la selección de
pequeñas variaciones aleatorias, no me parece que la evolución sea capaz de
explicar más que una pequeña parte de la eficacia inexplicable de la
matemática.
Raskin sostenía que
«los fundamentos de la matemática se habían establecido mucho antes de la
llegada de nuestros antepasados, probablemente a lo largo de millones de
generaciones».[286] Pero debo decir que este argumento no me parece
especialmente convincente. Aunque la lógica esté firmemente arraigada en los
cerebros de nuestros antepasados, es difícil ver cómo este hecho puede haber
conducido a la aparición de teorías matemáticas abstractas del mundo subatómico
(como la mecánica cuántica o los formalismos conocidos como teorías «gauge») de
fabulosa precisión.
Es sorprendente
constatar que Hamming concluía su artículo admitiendo que «todas las
explicaciones que he ofrecido, una vez unidas, no bastan para aclarar lo que
pretendía» (la eficacia inexplicable de la matemática).
Entonces, ¿debemos
concluir que esta eficacia sigue siendo igual de enigmática que al principio?
Antes de rendirnos, vamos
a intentar llegar a la esencia del misterio de Wigner; para ello vamos a
examinar lo que se denomina método científico.
En primer lugar, los
científicos averiguan, a través de una serie de experimentos y observaciones,
hechos acerca de la naturaleza. Estos hechos se utilizan inicialmente para
desarrollar una especie de «modelos» cualitativos de los fenómenos (por
ejemplo, la Tierra atrae las manzanas, la colisión de partículas subatómicas
puede producir otras partículas, el universo se expande, etc.).
En muchas de las ramas
de la ciencia, las teorías incipientes pueden incluso no ser matemáticas. Uno
de los mejores ejemplos de una teoría de este tipo con una inmensa capacidad
para explicar los fenómenos es la teoría de la evolución de Darwin. Aunque la selección
natural no está basada en formalismo matemático alguno, es notable su éxito en
la explicación del origen de las especies.
En física fundamental,
por el contrario, el paso siguiente suele consistir en intentar construir
teorías cuantitativas, matemáticas
(por ejemplo, la relatividad general, la electrodinámica cuántica, la teoría de
cuerdas, etc.). Finalmente, los investigadores utilizan esos modelos
matemáticos para predecir nuevos fenómenos, nuevas partículas y resultados de
experimentos y observaciones nunca realizados.
Lo que confundía a
Wigner y a Einstein era la increíble precisión del resultado de estos dos
últimos procesos. ¿Cómo es posible que, una y otra vez, los físicos puedan
hallar herramientas matemáticas que no sólo expliquen los resultados
experimentales y las observaciones anteriores, sino que lleven a descubrir
nuevos criterios y efectuar nuevas predicciones?
Voy a intentar dar
respuesta a esta versión de la pregunta a partir de un ejemplo del matemático
Reuben Hersh. Hersh proponía que, en el espíritu del análisis de muchos de
estos problemas de la matemática (y, desde luego, de la física teórica), se
debía examinar el más simple de los casos posibles.[287] Pensemos en
el experimento aparentemente trivial de introducir guijarros en un jarrón
opaco. Supongamos que metemos primero cuatro guijarros blancos y luego siete
guijarros negros. En algún momento de la historia, los humanos aprendieron que,
en algunos casos, podían representar un grupo de guijarros de cualquier color
mediante un concepto abstracto que habían inventado: un número natural. Es
decir, el conjunto de guijarros blancos se podía asociar con el número 4 (o
IIII, IV o cualquiera que fuese el símbolo utilizado en la época) y el de
guijarros negros, con el número 7. A través de experimentos como el descrito,
los seres humanos descubrieron que otro concepto inventado (la adición
aritmética) representaba correctamente el acto físico de acumular. Dicho de
otra forma, el resultado del proceso abstracto denotado simbólicamente por 4 +
7 puede predecir de forma no ambigua el número final de guijarros en el jarrón.
¿Qué significa todo
esto? ¡Significa que los seres humanos han desarrollado una increíble
herramienta matemática, capaz de predecir de forma fiable el resultado de cualquier experimento de este tipo! Esto
puede parecer una trivialidad, pero no lo es, porque esta misma herramienta no
sirve, por ejemplo, con gotas de agua. Si se vierten cuatro gotas de agua en el
jarrón una a una y, a continuación, otras siete gotas, no se obtienen once
gotas de agua independientes. De hecho, para poder efectuar predicciones en
experimentos similares con líquidos o gases, los seres humanos tuvieron que
inventar conceptos completamente distintos (como el de peso) y darse cuenta de
que era necesario pesar cada gota de agua o volumen de gas de forma individual.
La conclusión es clara:
las herramientas matemáticas no se han elegido de forma arbitraria, sino
precisamente por su capacidad para predecir de forma correcta los resultados de
los experimentos u observaciones pertinentes. De manera que, al menos en este
caso tan simple, su eficacia estaba garantizada. Los seres humanos no tuvieron
que adivinar a priori cuáles eran las matemáticas correctas: la Naturaleza tuvo
la gentileza de permitirles utilizar el ensayo y error para determinar qué era
lo que funcionaba. Tampoco tenían que utilizar obligatoriamente las mismas
herramientas para todas las circunstancias. A veces, el formalismo matemático
apropiado para determinado problema no existía y alguien tuvo que inventarlo
(es el caso de Newton y su invención del cálculo, o de las diversas ideas en
geometría y topología surgidas en el contexto de los actuales estudios en
teoría de cuerdas). En otros casos, el formalismo ya existía, pero era
necesario descubrir que se trataba de una solución en espera del problema
adecuado (como en el caso del uso de la geometría de Riemann por Einstein, o de
la teoría de grupos en física de partículas). La cuestión es que su
extraordinaria curiosidad, su perseverancia, su imaginación creativa y su
intensa determinación han permitido a los seres humanos hallar los formalismos
matemáticos relevantes para crear modelos de un gran número de fenómenos
físicos.
Una de las
características de la matemática que ha resultado esencial para lo que he
venido denominando su eficacia «pasiva» ha sido su validez esencialmente
eterna. La geometría euclidiana sigue siendo tan correcta en la actualidad como
lo era en el año 300 a.C. Ahora comprendemos por qué sus axiomas no son
inevitables y, en lugar de representar verdades absolutas acerca del espacio,
representan verdades dentro del universo particular que los seres humanos
percibimos y de su formalismo asociado. Sin embargo, una vez que hemos
comprendido que su contexto es más limitado, todos sus teoremas siguen siendo
ciertos. Dicho de otro modo, las distintas ramas de la matemática se incorporan
a ramas más amplias (por ejemplo, la geometría euclidiana es sólo una de las
posibles versiones de la geometría), pero la corrección se conserva dentro de
cada rama. Esta longevidad indefinida ha permitido que los científicos de cada
época buscasen las herramientas adecuadas dentro del arsenal de formalismos
desarrollados.
De todos modos, el
ejemplo sencillo de los guijarros en el jarrón deja en el aire dos de los
elementos del enigma de Wigner. En primer lugar se halla la siguiente cuestión:
¿por qué en algunos casos parece que, en términos de exactitud, obtenemos de la
teoría más de lo que hemos puesto? En el experimento de los guijarros, la exactitud
de los resultados «predichos» (la acumulación de otros conjuntos de guijarros)
no es mejor que la exactitud de los experimentos que condujeron a la
formulación inicial de la teoría (la adición aritmética). Por otro lado, se ha
demostrado que la exactitud de las predicciones de la teoría de la gravitación
de Newton supera en gran medida la de los resultados observacionales que
motivaron la formulación de la teoría. ¿Por qué? Vamos a recapitular brevemente
sobre la historia de la teoría de Newton.
El modelo geocéntrico
de Ptolomeo fue el dominante durante unos quince siglos. Aunque el modelo no
pretendía ser universal (el movimiento de cada planeta se trataba de forma
individual) y no mencionaba nada acerca de causas físicas (como fuerzas o
aceleraciones), se ajustaba razonablemente a las observaciones. Nicolaus
Copernicus (1473-1543) publicó su modelo heliocéntrico en 1543, y Galileo le
proporcionó una base sólida. Galileo estableció también los fundamentos de las
leyes del movimiento. Pero fue Kepler quien dedujo las primeras leyes
matemáticas (aunque sólo fenomenológicas) del movimiento planetario a partir de
observaciones.
Kepler utilizó una
colosal cantidad de datos recopilados por el astrónomo Tycho Brahe (1546-1601)
para determinar la órbita de Marte.[288] A los centenares de páginas
de cálculos que tuvo que llevar a cabo los denominó «mi guerra personal con
Marte». Salvo por un par de discrepancias, las observaciones se ajustaban a una
órbita circular. Sin embargo, Kepler no quedó satisfecho con esta solución, y
más adelante describió así sus cavilaciones: «Si hubiese pensado que podía
hacer caso omiso de esos ocho minutos [de arco, alrededor de una cuarta parte
del diámetro de la luna llena], hubiese modificado mis hipótesis … en
consecuencia. Pero no era aceptable ignorarlos, de modo que esos ocho minutos
señalaron el camino de una reforma total de la astronomía». Las consecuencias
de esta meticulosidad fueron fenomenales. Kepler dedujo que las órbitas de los
planetas no son circulares, sino elípticas, y formuló dos leyes cuantitativas
adicionales que podían aplicarse a todos los planetas. Unidas a las leyes de
movimiento de Newton, se convirtieron en la base para la ley de la gravitación
universal. Recordemos, no obstante, que Descartes había propuesto antes su
teoría de los vórtices, en la que los planetas eran transportados alrededor del
Sol por vórtices de partículas en movimiento circular. Esta teoría no tuvo
demasiado predicamento, ni siquiera antes de que Newton demostrase que era
incoherente, porque Descartes no había desarrollado un tratamiento sistemático
de los vórtices.
¿Qué lección podemos
extraer de esta breve historia? No cabe duda de que la ley de la gravitación de
Newton fue la obra de un genio. ¡Pero este genio no se encontraba aislado en el
vacío! Una parte de los cimientos habían sido establecidos anteriormente con
gran meticulosidad por otros científicos. Como ya señalé en el capítulo 4,
matemáticos de un nivel mucho menor que el de Newton, como el arquitecto
Christopher Wren y el físico Robert Hooke, habían sugerido de forma
independiente la ley de atracción del cuadrado inverso. La grandeza de Newton
consistió en su capacidad única para ligarlo todo en forma de una teoría
unificada y su terquedad para hallar demostraciones matemáticas de las
consecuencias de su teoría. Podemos preguntarnos por qué este formalismo
resultó ser tan preciso. En parte se debió a que trataba el problema más
fundamental: las fuerzas entre dos cuerpos graves y el movimiento resultante,
sin otros factores que complicasen el escenario. Newton sólo obtuvo una
solución completa para este problema. Así, la teoría fundamental era
extraordinariamente precisa, pero sus implicaciones tuvieron que sufrir una
continua corrección.
El sistema solar se
compone de más de dos cuerpos. Cuando se incluyen los efectos de otros planetas
(siguiendo igualmente la ley del cuadrado inverso), las órbitas dejan de ser
simples elipses. Por ejemplo, se ha hallado que la órbita de la Tierra cambia
lentamente su orientación en el espacio (un movimiento denominado precesión), algo parecido a lo que
sucede con el eje de una peonza en rotación. De hecho, los estudios más
modernos han mostrado que, en contradicción con las expectativas de Laplace, es
posible que las órbitas de los planetas acaben convirtiéndose en caóticas.[289]
La propia teoría fundamental de Newton fue, desde luego, destronada por la
relatividad general de Einstein, y esa misma teoría apareció después de una
serie de salidas en falso y de «casi» dianas. Esto demuestra que no es posible
prever la exactitud. Para probar el pastel es necesario comérselo: hasta
obtener la precisión deseada, se efectúan todas las correcciones y
modificaciones necesarias. Los casos en los que se logra una exactitud superior
en un solo paso parecen milagros.
En segundo plano
tenemos, parece claro, un hecho esencial que hace que la búsqueda de leyes
fundamentales valga la pena. Se trata del hecho de que la naturaleza ha sido
tan amable de obedecer leyes universales, en lugar de simples normas locales.
Un átomo de hidrógeno se comporta
exactamente del mismo modo en la Tierra, en el otro extremo de la Vía
Láctea o en una galaxia a diez mil millones de años luz de distancia. Y esto se
cumple en todas las direcciones y momentos.
Los matemáticos y físicos
han inventado un término para referirse a estas propiedades: se denominan simetrías, y dan cuenta de la inmunidad
a los cambios en la ubicación, en la orientación o el momento en que se pone en
marcha el reloj. Si no fuese por estas (y otras) simetrías, la esperanza de
descifrar algún día el gran plan de la naturaleza se hubiese perdido, porque
los experimentos deberían haberse repetido en todos los lugares del espacio (si
es que hubiese sido posible la aparición de la vida en un universo así). Otra
de las propiedades del cosmos que subyace tras las teorías matemáticas es lo
que se ha venido en llamar localidad.
Esta propiedad refleja nuestra capacidad para construir la «imagen global» como
si fuese un rompecabezas, empezando por una descripción de las interacciones
más básicas entre partículas elementales.
Y ahora llegamos al
último elemento del enigma de Wigner: ¿qué es lo que garantiza que deba existir
siquiera una teoría matemática? En otras palabras: ¿por qué existe, por
ejemplo, una teoría de la relatividad
general? ¿Podría ser que no
existiese una teoría matemática de la gravedad?
La respuesta, en
realidad, es más simple de lo que podría parecer.[290] ¡No hay
garantía alguna! Hay multitud de fenómenos para los que ni siquiera en principio es posible efectuar predicciones precisas.
En esta categoría se hallan, por ejemplo, una amplia gama de sistemas dinámicos
que desarrollan comportamientos caóticos, en los que un cambio nimio en las
condiciones iniciales puede provocar resultados finales completamente
distintos. Entre los fenómenos con este tipo de comportamientos se encuentran
el mercado de valores, el tiempo atmosférico sobre las Montañas Rocosas, una
bola rebotando en una ruleta, el humo que sale de un cigarrillo y, por
supuesto, las órbitas de los planetas en el sistema solar. Esto no significa
que los matemáticos no hayan desarrollado formalismos ingeniosos para tratar
aspectos importantes de estos problemas, pero no existe una teoría determinista
predictiva para ellos.
Los campos de la
probabilidad y la estadística se han creado precisamente para abordar las
cuestiones en las que no se dispone de una teoría que permita obtener
resultados más allá de las observaciones. De forma similar, el concepto
denominado complejidad computacional
delimita nuestra capacidad para resolver problemas mediante algoritmos
prácticos, y los teoremas de incompletitud de Gödel determinan ciertas
limitaciones dentro de la propia matemática. Así, aunque la matemática es
extremadamente eficaz para ciertas descripciones, en especial las que tienen
que ver con la ciencia, es incapaz de describir nuestro universo en todas sus dimensiones. Hasta cierto
punto, los científicos han seleccionado
los problemas en los que trabajan basándose en cuáles pueden recibir un tratamiento
matemático.
Entonces, ¿hemos
resuelto definitivamente el misterio de la inexplicable eficacia de la
matemática? Dudo mucho que los argumentos que he expuesto en este libro hayan
dejado completamente convencidas a todas las personas. Sin embargo, puedo citar
a Bertrand Russell en Los problemas de la
filosofía:[291]
Para resumir nuestro
análisis sobre el valor de la filosofía: la filosofía debe ser estudiada, no
por las respuestas concretas a los problemas que plantea, puesto que, por lo
general, ninguna respuesta precisa puede ser garantizada como verdadera, sino
más bien por el valor de los problemas mismos; porque estos problemas amplían
nuestra concepción de lo posible, enriquecen nuestra imaginación intelectual y
disminuyen la seguridad dogmática que cierra el espíritu a la investigación;
pero, ante todo, porque por la grandeza del Universo que la filosofía
contempla, el espíritu se hace a su vez grande, y llega a ser capaz de la unión
con el Universo que constituye su supremo bien.
[254] Davis y Hersh 1981.
<<
[255] Hardy l940. <<
[256] Kasner y Newman 1989.
<<
[257] Barrow 1992 incluye
una de las mejores explicaciones divulgativas sobre la naturaleza de la
matemática. Un repaso un poco más técnico, pero accesible, de algunas de las
principales ideas se halla en Kline 1992. <<
[258] Véase Barrow 1992 para
otro excelente comentario de muchos de los temas de este libro. <<
[259] Tegmark 2007a,b.
<<
[260] Changeux y Connes
1995. <<
[261] Dehaene 1997. <<
[262] Dehaene et al 2006. <<
[263] Véase por ejemplo
Holden 2006. <<
[264] Changeux y Connes
1995. <<
[265] Lakoff y Núñez 2000.
<<
[266] Véase por ejemplo
Ramachandran y Biakeslee 1999. <<
[267] Varley et al 2005; Klessinger et al 2007. <<
[268] Atiyah 1995. <<
[269] Para una descripción
en detalle de la razón áurea, su historia y sus propiedades, véase Livio 2002 y
también Herz-Fischler 1998. <<
[270] Hersh 2000 contiene un
artículo de Yehuda Rav con un comentario acerca de estas ideas. <<
[271] White 1947. <<
[272] Para una descripción
de nivel divulgativo véase Hockett 1960. <<
[273] Véase Obler y Gjerlow
1999 para un ameno comentario acerca del lenguaje y el cerebro. <<
[274] Las similitudes entre
el lenguaje y la matemática se tratan también en Sanukai 2005 y Atiyah 1994.
<<
[275] Chomsky 1957. Para más
información sobre lingüística, Aronoff y Rees-Miller 2001 incluye un excelente
resumen. Una interesante perspectiva de nivel divulgativo es Pinker 1994.
<<
[276] Wolfram 2002. Para un
excelente comentario sobre este asunto véase Vilenkin 2006. <<
[277] Tegmark identificó
cuatro tipos distintos de universos paralelos. En el «Nivel I» hay universos
con las mismas leyes de la física pero condiciones iniciales distintas. En el
«Nivel II» hay universos con las mismas ecuaciones físicas pero quizá con
restricciones naturales diferentes. El «Nivel III» utiliza la interpretación de
los «muchos mundos» de la mecánica cuántica, y en el «Nivel IV» hay estructuras
matemáticas distintas. Tegmark 2003. <<
[278] Como describí en el
capítulo 5, si se elige una persona al azar en la calle, la probabilidad de que
su altura se encuentre dentro de dos desviaciones estándar de la altura media
es del 95 por 100. <<
[279] Putnam 1975. <<
[280] Hay otras opiniones
que no he comentado. Por ejemplo, Steiner (2005) argumenta que Wigner no prueba
que sus ejemplos de la «eficacia inexplicable» tengan relación alguna con el
hecho de que los conceptos sean matemáticos. <<
[281] Gross 1988. Para un
comentario más amplio acerca de la relación entre la matemática y la física,
véase Vafa 2000. <<
[282] Atiyah 1995, y véase
también Atiyah 1993. <<
[283] Hamming 1980. <<
[284] Weinberg 1993.
<<
[285] En Borovik 2006.
<<
[286] Raskin 1998. <<
[287] Hersh 2000 contiene
excelentes artículos escritos por Hersh. <<
[288] Los propios libros
escritos por Kepler, Kepler 1981 y 1997, son una interesante lectura para los
interesados en la historia de la ciencia. Excelentes biografías son Caspar 1993
y Gingerich 1973. <<
[289] Para una revisión
véase, por ejemplo, Lecar et al. 2001.
<<
[290] Raymond 2005 contiene
una interesante explicación sobre la utilidad de la matemática. Certeros puntos
de vista sobre el enigma de Wigner se pueden también hallar en Wilczek 2006,
2007. <<
[291] Russell 1997. <<
1 comentario:
Tengo que seleccionar todo el texto para poder leer por lo oscuro que está todo y el poco contraste entre fondo y texto pero gracias y enhorabuena, está muy interesante el blog.
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