En su famosa obra El shock del futuro,[172] el
autor Alvin Toffler (1928-) definía el término del título como «la terrible
tensión y desorientación que inducimos en las personas al someterlas a un
exceso de cambio en un tiempo demasiado breve». En el siglo XIX, los
matemáticos, científicos y filósofos sufrieron un shock así. De hecho, la
antiquísima creencia de que la matemática ofrece verdades eternas e inmutables
quedó destruida. Esta inesperada convulsión intelectual fue debida a la
aparición de nuevos tipos de geometrías, denominadas actualmente geometrías no euclidianas. Aunque la
mayor parte de las personas que no son especialistas no han oído hablar nunca
de estas geometrías, la magnitud de esta revolución se ha comparado con la que
provocó la teoría de la evolución de Darwin.
Para poder apreciar en
toda su dimensión este drástico cambio en la visión del mundo, deberemos antes
examinar el escenario histórico-matemático.
Hasta principios del
siglo XIX, la geometría euclidiana, esto es, la geometría tradicional que
aprendemos en la escuela, se consideraba una apoteosis de verdad y certidumbre.
En consecuencia, no es sorprendente que el gran filósofo judío holandés Baruch
Spinoza (1632-1677) llamase Ética
demostrada en orden geométrico a su intento de unificar la ciencia, la
religión, la ética y la razón. Es más, a pesar de la clara distinción entre el
mundo platónico ideal de las formas matemáticas y la realidad física, casi
todos los científicos consideraban que los objetos de la geometría euclidiana
no eran más que abstracciones destiladas de sus homólogos físicos. Incluso los
empiristas más acérrimos como David Hume (1711-1776), que se empeñaban en
afirmar que los propios cimientos de la ciencia eran más inseguros de lo que
cualquiera pudiese sospechar, concluían que la geometría euclidiana era tan
sólida como el Peñón de Gibraltar. En su Investigación
sobre el entendimiento humano, Hume identificaba dos tipos de «verdades»:
Todos los objetos de la
razón o el entendimiento humano se pueden dividir por naturaleza en dos clases,
a saber: Relaciones entre ideas y Hechos en sí. A la primera clase corresponden
… las afirmaciones ciertas por intuición o por demostración … Las proposiciones
de esta clase pueden descubrirse con el simple pensamiento, sin depender de
ninguna cosa existente en el universo. Aunque no existiese en la naturaleza un
círculo o un triángulo, las verdades
demostradas por Euclides mantendrían siempre su certeza y evidencia. Los
hechos en sí … no quedan establecidos de la misma forma, ni es nuestra
evidencia de su verdad, por grande que sea, de una naturaleza comparable a la
anterior. El opuesto de cada hecho en sí sigue siendo posible, porque no
implica contradicción alguna … «El Sol no saldrá mañana» no es una proposición
menos inteligible, ni implica más contradicción, que la afirmación de que sí
saldrá. Es, por tanto, tarea vana tratar de demostrar su falsedad. (Las
cursivas son mías).[173]
En otras palabras,
aunque Hume y los empiristas sostenían que todo el conocimiento surge de la observación, la geometría y sus
«verdades» seguían gozando de un estatus privilegiado.
El ilustre filósofo
alemán Immanuel Kant (1729-1804) no siempre estaba de acuerdo con Hume, pero
también elevaba la geometría euclidiana a un estado de certeza absoluta y
validez incuestionable. En su inmortal Crítica
de la razón pura, Kant intentó en cierta forma dar la vuelta a la relación
entre la mente y el mundo físico. En lugar de ser la realidad física la que
causa impresiones en una mente puramente pasiva, Kant asignó a esta última la
función de «construir» o «procesar» el universo percibido. Kant decidió mirar
hacia el interior y no preguntar qué
podemos saber sino cómo podemos saber
lo que sabemos.[174] Explicaba Kant que, aunque nuestros ojos
detectan partículas de luz, éstas no forman una imagen en nuestra consciencia
hasta que nuestros cerebros procesan y organizan la información. En este
proceso de construcción tenía un papel preponderante la percepción del espacio intuitiva
o sintética a priori del ser humano,
que a su vez consideraba basada en la geometría euclidiana. Kant era de la
opinión que la geometría euclidiana ofrecía la única vía para procesar y conceptualizar el espacio, y que esta
relación intuitiva y universal con el espacio se hallaba en el núcleo de
nuestra experiencia del mundo natural. En sus propias palabras:
Para simplificar, según
Kant, si percibimos un objeto, necesariamente se trata de un objeto espacial y euclidiano.
Las ideas de Hume y
Kant ponen de manifiesto dos aspectos muy distintos, pero de comparable
importancia, asociados históricamente con la geometría de Euclides. El primero
es la afirmación de que la geometría euclidiana representa la única descripción exacta del espacio
físico. El segundo es la identificación de la geometría euclidiana con una
estructura firme, robusta e infalible. En conjunto, estas dos supuestas
propiedades ofrecían a los matemáticos, científicos y filósofos lo que
consideraban como la evidencia más sólida de la existencia de verdades
reveladoras e inexorables acerca del universo. Hasta el siglo XIX, estas
afirmaciones se daban por descontadas. Pero ¿eran realmente ciertas?
Las bases de la
geometría euclidiana las estableció el matemático griego Euclides de Alejandría
alrededor del año 300 a.C. En una monumental obra de trece volúmenes denominada
Los elementos, Euclides intentó
edificar la geometría sobre una base lógica bien definida. Empezó por
establecer diez axiomas de certeza indiscutible y trató de demostrar un inmenso
número de proposiciones a partir de esos postulados, a base únicamente de
deducciones lógicas.
Los primeros cuatro
axiomas de Euclides eran extremadamente simples y de una exquisita concisión.[176]
El primer axioma, por ejemplo, decía: «Entre dos puntos se puede trazar una
línea recta». El cuarto afirmaba: «Todos los ángulos rectos son iguales». En
contraste, el quinto axioma, denominado «postulado de las paralelas», era de
formulación más complicada y bastante menos evidente por sí mismo: «Si dos
rectas de un plano intersectan una tercera de forma que la suma de los ángulos
internos de un lado es menor que dos ángulos rectos, inevitablemente estas
rectas se intersecarán si se prolongan lo suficiente por ese lado».
La figura 39 muestra
gráficamente el contenido de este axioma. Aunque nadie dudaba de su certeza,
esta afirmación carecía de la persuasiva simplicidad de los otros axiomas. Todo
parece indicar que ni siquiera el propio Euclides estaba demasiado contento con
su quinto postulado; las demostraciones de las primeras veintiocho
proposiciones de Los elementos no
hacen uso de él.[177]
La versión equivalente
del «Quinto» más citada en la actualidad apareció en primer lugar en los
comentarios del matemático griego Proclo en el siglo V d.C., pero se le suele
llamar «axioma de Playfair» (por el matemático escocés John Playfair
[1748-1819]). Dice: «Dados una recta y un punto exterior a ella, es posible
trazar exactamente una recta paralela a la recta dada que pase por ese punto»
(véase figura 40).
Las dos versiones del
axioma son «equivalentes» en el sentido de que el axioma de Playfair (junto con
los demás axiomas) implica necesariamente el Quinto original de Euclides y
viceversa.
A lo largo de los
siglos, el cada vez mayor descontento con el «Quinto» ha tenido como resultado
un número creciente de intentos infructuosos de demostrarlo a partir de los otros nueve axiomas o sustituirlo por
un postulado más evidente. Con el fracaso de esos intentos, otros geómetras se
plantearon dar respuesta a una enigmática pregunta: ¿Y si se demostrase que el
quinto axioma es, en realidad, falso? Algunos de estos empeños empezaron a
plantear molestas dudas sobre si los axiomas de Euclides eran verdaderamente
evidentes o estaban, en realidad, basados en la experiencia.[178] El veredicto final, un tanto
sorprendente, se materializó en el siglo XIX: era posible crear nuevos tipos de
geometría con sólo elegir un axioma
distinto del quinto de Euclides. Es más, ¡estas geometrías «no euclidianas»
podrían, en principio, describir el espacio físico con la misma precisión que
la geometría euclidiana!
Vamos a hacer una pausa
para reflexionar sobre el sentido de la palabra «elegir». Durante milenios, se
había considerado que la geometría euclidiana era la única e inevitable descripción verdadera del
espacio. El hecho de poder elegir los axiomas y obtener una descripción
igualmente válida supuso un cambio radical de concepción. El esquema deductivo
verdadero y cuidadosamente construido se convirtió de pronto en algo parecido a
un juego, en el que los axiomas hacían el papel de reglas. Bastaba con cambiar
los axiomas para jugar a un juego distinto. Es difícil hacerse una idea del
tremendo impacto de este nuevo punto de vista en la comprensión de la
naturaleza de la matemática.
Una serie de
matemáticos creativos prepararon el terreno para lanzar el último asalto a la geometría
de Euclides. Entre ellos son especialmente dignos de mención el sacerdote
jesuita Gerolamo Saccheri (1667-1733), que investigó las consecuencias de la
sustitución del quinto postulado por una afirmación distinta, y los matemáticos
alemanes Georg Klügel (1739-1812) y Johann Hein-rich Lambert (1728-1777), que
fueron los primeros en darse cuenta de la posibilidad de la existencia de
geometrías alternativas a la euclidiana. Pero alguien tuvo que dar el tiro de
gracia a la idea de la exclusividad de la geometría euclidiana como
representación del espacio. Este honor lo compartieron tres matemáticos: uno
ruso, otro húngaro y un tercero alemán.
Nuevos y extraños mundos
El primero en publicar
un tratado completo sobre un nuevo tipo de geometría —que se podía construir en
una superficie con forma de silla de montar (figura 41a)— fue el ruso Nikolai
Ivanovich Lobachevsky (1792-1856; figura 42).[179]
En este tipo de
geometría (que en la actualidad se denomina geometría
hiperbólica), el quinto postulado de Euclides queda sustituido por la
afirmación de que, dada una línea en un plano y un punto exterior a esta línea,
existen al menos dos líneas que pasan
por el punto y son paralelas a la línea dada. Otra diferencia crucial entre la
geometría de Lobachevsky y la de Euclides es que, mientras en la de este
último, los ángulos de un triángulo siempre sumaban 180 grados (figura 41 b),
en la del primero la suma es siempre inferior a 180 grados. La aparición de la
obra de Lobachevsky en el oscuro Mensajero
de Kazan pasó casi por completo desapercibida hasta la aparición de sus
traducciones en francés y alemán a finales de los años 1830.
El joven matemático
húngaro Janos Bolyai (1802-1860),[180] desconocedor de la obra de
Lobachevsky, formuló una geometría similar durante la década de 1820. Con
juvenil entusiasmo, en 1823 escribía a su padre (el matemático Farkas Bolyai; figura
43): «Lo que hallé fue tan magnífico que me dejó estupefacto … He creado un
mundo distinto de la nada».
En 1825, Janos estuvo
listo para presentar al padre Bolyai el primer borrador de su nueva geometría.
El título del manuscrito era La ciencia
del espacio absoluto.[181] A pesar de la euforia del joven, su
padre no quedó totalmente convencido de la solidez de las ideas de Janos. Sin
embargo, decidió publicar la nueva geometría como apéndice de su tratado de dos
volúmenes sobre los fundamentos de la geometría, el álgebra y el análisis (cuyo
supuestamente atractivo título era Ensayo
sobre elementos de matemática para jóvenes estudiosos).
En junio de 1831,
Farkas envió una copia del libro a su amigo Cari Friedrich Gauss (figura 44),
que no sólo era el matemático más importante de su época, sino que está
considerado por muchos como uno de los tres más grandes de la historia. Por
desgracia, el libro se extravió en el caos provocado por una epidemia de cólera
y Farkas tuvo que enviar una segunda copia. Gauss envió una respuesta el 6 de
marzo de 1832, y sus comentarios no eran exactamente los que el joven Janos
esperaba:
Si empezase por decir
que no puedo elogiar este trabajo, quizá eso te sorprendiese momentáneamente.
Pero no puedo decir otra cosa, porque elogiarlo supondría elogiarme a mí mismo.
El contenido de la obra, el camino que ha tomado tu hijo, los resultados a los
que ha llegado, coinciden de modo casi literal con las meditaciones que han
ocupado mi mente durante los últimos treinta o treinta y cinco años. De modo
que me he quedado anonadado. En lo que respecta a mi propio trabajo, que hasta
ahora apenas he publicado en papel, mi intención era no permitir que se
publicase mientra viviese.
Déjenme comentar entre
paréntesis que, al parecer, Gauss temía que los filósofos kantianos, a los que
Gauss llamaba «los boecios» (sinónimo de estúpidos en la antigua Grecia),
considerasen esta geometría radicalmente nueva como una herejía filosófica.
Gauss proseguía así:
Por otra parte, tenía
pensado dejar escrito todo esto más adelante para que, como mínimo, no
pereciese conmigo. Así, es para mí una agradable sorpresa poder ahorrarme la
molestia, y me complace sobremanera que sea el hijo de mi viejo amigo quien se
adelante a mí de este modo tan notable.
Mientras que Farkas
quedó gratamente satisfecho por los elogios de Gauss, que le parecieron
«espléndidos», para Janos supusieron un golpe devastador. Durante casi una
década se negó a creer en la afirmación de Gauss sobre su supuesta «meditación
previa» acerca de esta geometría, y la relación con su padre (de quien
sospechaba que había comunicado con anterioridad sus resultados a Gauss) quedó
gravemente afectada. Cuando finalmente se dio cuenta de que Gauss había
empezado a trabajar en el problema nada menos que en 1799, el carácter de Janos
se amargó, y su obra matemática posterior (a su muerte dejó unas veinte mil
páginas manuscritas) quedó deslucida en comparación.
Sin embargo, apenas
cabe duda de que Gauss había reflexionado en profundidad sobre la geometría no
euclidiana.[182] En una anotación de su diario, en septiembre de
1799, escribía: In principiis geometriae
egregios progressus fecimus («Logramos avances maravillosos en los
principios de la geometría»). Más adelante, en 1813, señalaba: «En la teoría de
las líneas paralelas no estamos más allá de donde estaba Euclides. Esta es la partie honteuse (parte bochornosa) de la
matemática, que antes o después tendrá que adquirir una forma muy distinta».
Años después, en una carta fechada el 28 de abril de 1817, afirmaba: «Cada vez
estoy más convencido de que no es posible demostrar la necesidad de nuestra
geometría [euclidiana]». Finalmente, y de forma opuesta a las tesis de Kant,
Gauss llegó a la conclusión de que la geometría euclidiana no podía
considerarse una verdad universal, sino más bien que «habría que considerar la
geometría [euclidiana], no como la aritmética, que es válida a priori, sino
aproximadamente como la mecánica». Conclusiones similares fueron alcanzadas de
forma independiente por Ferdinand Schweikart (1780-1859), profesor de
jurisprudencia, que hizo llegar noticia de su trabajo a Gauss entre 1818 y
1819. No obstante, puesto que ni Gauss ni Schweikart publicaron sus resultados,
el mérito de primera publicación se suele atribuir a Lobachevsky y Bolyai,
aunque éstos no puedan considerarse como los únicos «creadores» de la geometría
no euclidiana.
La geometría
hiperbólica irrumpió como un relámpago en el mundo de la matemática y asestó un
tremendo golpe a la percepción de la geometría euclidiana como la única e
infalible descripción del espacio. Antes de los trabajos de Gauss, Lobachevsky
y Bolyai, la geometría euclidiana era, a todos los efectos, el mundo natural.
El hecho de que fuese posible seleccionar un conjunto de axiomas distinto y
construir un nuevo tipo de geometría hizo surgir por primera vez la sospecha de
que, después de todo, la matemática era una invención humana, en lugar de un
descubrimiento de realidades que existían fuera del cerebro de las personas. Al
mismo tiempo, el derrumbamiento de la conexión inmediata entre la geometría
euclidiana y el espacio físico real puso de manifiesto lo que, al parecer, eran
deficiencias fundamentales en la idea de que la matemática era el lenguaje del
universo.
El estatus privilegiado
de la geometría euclidiana aún empeoró más cuando uno de los alumnos de Gauss,
Bernhard Riemann (1826-1866), demostró que la geometría hiperbólica no era la
única geometría no euclidiana posible. El 10 de junio de 1854, Riemann dio en
Göttingen una espléndida conferencia[183] (en la figura 45 se
muestra la primera página de su versión editada) en la que presentaba sus
puntos de vista: «Acerca de las hipótesis fundamentales de la geometría».
En ella empezaba
diciendo: «La geometría da por supuesto el concepto de espacio y los principios
básicos para construir en él. Sólo ofrece definiciones nominales de estos
elementos, y sus especificaciones esenciales aparecen en forma de axiomas». Sin
embargo, señalaba: «La relación entre estas suposiciones es borrosa; no es
posible ver si existe alguna conexión necesaria entre ellos y, en caso
afirmativo, hasta qué punto, ni saber a priori si es siquiera posible que
exista una conexión entre ellas». Entre las posibles construcciones
geométricas, Riemann comentó la geometría
elíptica, como la que podría darse sobre la superficie de una esfera
(figura 41c). Cabe destacar que, en esa geometría, la distancia más corta entre
dos puntos no es una línea recta, sino un segmento de un círculo máximo cuyo
centro coincide con el centro de la esfera. Las líneas aéreas sacan provecho de
esta característica: los vuelos entre Europa y Estados Unidos no siguen una
trayectoria que aparecería como una recta en un mapa, sino que siguen un
círculo máximo orientado hacia el norte. Es fácil comprobar que cualquier
pareja de círculos máximos se cortan en dos puntos opuestos. Por ejemplo, dos
meridianos de la Tierra, que parecen paralelos en el Ecuador, se cortan en los
dos polos. En consecuencia, a diferencia de lo que ocurre en la geometría
euclidiana, en la que sólo pasa una paralela por un punto externo a una línea,
y de la hiperbólica, en la que hay al menos dos paralelas, en la geometría
elíptica sobre una esfera no hay paralelas en absoluto.
Riemann llevó los
conceptos no euclidianos un paso más allá y planteó geometrías en espacios
curvos de tres, cuatro y más dimensiones. Uno de los conceptos fundamentales
que Riemann amplió fue el de curvatura,
el ritmo al que se curva una superficie o una línea curvada. Por ejemplo, la
superficie de una cáscara de huevo se curva con más suavidad a lo ancho que a
lo largo de una curva que pase por uno de sus más estrechos extremos. Riemann
dio una definición matemática precisa de curvatura en espacios de cualquier
número de dimensiones, y con ello intensificó la unión entre el álgebra y la
geometría iniciada por Descartes. En la obra de Riemann, ecuaciones con un
número arbitrario de variables hallaron su homólogo geométrico, y los nuevos
conceptos de las geometrías avanzadas quedaron asociados a las ecuaciones.
No fue sólo el
prestigio de la geometría euclidiana la víctima de los nuevos horizontes
abiertos para la geometría en el siglo XIX. Las ideas de Kant acerca del
espacio no tardaron mucho en seguir los mismos pasos. Recordemos que Kant
afirmaba que la información de nuestros sentidos se organiza exclusivamente
según modelos euclidianos antes de quedar registrada en nuestro consciente. Los
geómetras del siglo XIX desarrollaron rápidamente su intuición en las
geometrías no euclidianas y aprendieron a percibir el mundo a través de ellas.
La percepción euclidiana del espacio resultó ser, después de todo, aprendida,
no intuitiva. A la vista de estos espectaculares acontecimientos, el gran
matemático francés Henri Poincaré (1854-1912) llegó a la conclusión de que los
axiomas de la geometría «no son intuiciones sintéticas a priori ni datos
experimentales. Se trata de convenciones.
Nuestra elección entre todas las posibles convenciones, aunque guiada por los
hechos experimentales, es libre». En otras palabras, Poincaré consideraba los
axiomas como simples «definiciones disfrazadas». (La cursiva es mía).
El punto de vista de
Poincaré no acusaba únicamente la influencia de las geometrías no euclidianas
que hemos descrito,[184] sino también la proliferación de otras
nuevas geometrías, que a finales del siglo XIX parecía casi fuera de control.
Por ejemplo, en geometría proyectiva
(como la que se obtiene al proyectar en una pantalla una imagen sobre una
película de celuloide) se podía literalmente intercambiar el papel de los
«puntos» y las «líneas», de modo que los teoremas sobre puntos y líneas (por
este orden) se convertían en teoremas sobre líneas y puntos. En geometría diferencial, los matemáticos
empleaban el cálculo para estudiar las propiedades geométricas locales de
diversos espacios matemáticos, como la superficie de una esfera o la de un
toro. A primera vista, estas y otras geometrías tenían el aspecto de ingeniosas
invenciones de imaginativas mentes matemáticas, más que de descripciones
precisas del espacio físico. ¿Acaso era posible seguir defendiendo el concepto
de Dios como matemático? Después de todo, si «el propio Dios geometriza» (una
frase atribuida a Platón por el historiador Plutarco), ¿cuál de estas
geometrías posee la preferencia divina?
El reconocimiento cada
vez más patente de las carencias de la geometría euclidiana clásica forzó a los
matemáticos a examinar con rigor los propios fundamentos de la matemática en
general, y en particular la relación entre matemática y lógica. Volveremos
sobre este importante tema en el capítulo 7. Aquí mencionaré simplemente que la
propia noción de la evidencia de los axiomas por sí mismos había quedado
destruida. En consecuencia, aunque el siglo XIX fue testigo de otros
importantes desarrollos en álgebra y en análisis, probablemente es la
revolución de la geometría la que supuso la mayor influencia en la visión de la
naturaleza de la matemática.
Del espacio, los números y los humanos
Sin embargo, antes de
que los matemáticos pudiesen examinar el tema fundamental de las bases de la
matemática, tuvieron que dedicar su atención a algunas cuestiones «menores». En
primer lugar, el hecho de que se hubiesen formulado y publicado geometrías no
euclidianas no implicaba necesariamente que se tratase de derivaciones
legítimas de la matemática. Por ejemplo, el miedo a la incoherencia —la
posibilidad de que, al llevar estas geometrías a sus últimas consecuencias
lógicas se generasen contradicciones irresolubles— estaba presente de forma
permanente.
En la década de 1870,
el italiano Eugenio Beltrami (1835-1900) y el alemán Felix Klein (1849-1925)
habían demostrado que, dado que la geometría euclidiana era coherente, también
lo eran las no euclidianas. Esto, no obstante, seguía dejando abierta la
cuestión de la solidez de las bases de la geometría euclidiana. Y luego estaba
el importante asunto de la relevancia. La mayoría de los matemáticos se tomaban
las nuevas geometrías, en el mejor de los casos, como entretenidas
curiosidades. Mientras que el peso histórico de la geometría euclidiana
derivaba sobre todo de su consideración como descripción del espacio real, las
geometrías no euclidianas no parecían, en principio, tener conexión alguna con
la realidad física. Así, muchos matemáticos trataban estas nuevas geometrías
como a los parientes pobres de la geometría de Euclides. Incluso Henri
Poincaré, que era más complaciente que la mayoría, insistía en que, aunque los
humanos nos viésemos transportados a un mundo en el que la geometría aceptada
fuese no euclidiana, estaba «convencido de que no sería más práctico para
nosotros cambiar» [de la geometría euclidiana a la no euclidiana]. Dos
cuestiones dominaban, pues, el panorama: (i) ¿Podía la geometría (en
particular) y otras ramas de la matemática (en general) establecerse sobre
cimientos axiomáticos sólidos? (ii) ¿Cuál era la relación, si es que la había,
entre la matemática y el mundo físico?
Algunos matemáticos
adoptaron una postura pragmática con respecto a la validación de las bases de
la geometría. Decepcionados tras comprender que aquello que consideraban
verdades absolutas habían resultado estar basadas más en la experiencia que en
el rigor, fijaron su atención en la aritmética, la matemática de los números.
La geometría analítica de Descartes, en la que los puntos del plano se
identificaban con pares ordenados de números; los círculos, con pares que
satisfacían una determinada ecuación (véase el capítulo 4), etcétera, ofrecía
las herramientas precisas para volver a edificar los fundamentos de la
geometría sobre la base de los números. Posiblemente el matemático alemán Jacob
Jacobi (1804-1851) pretendía expresar este cambio de paradigma cuando sustituyó
la frase de Platón «el propio Dios geometriza» por su lema: «El propio Dios
aritmetiza». Pero en cierto sentido, estos esfuerzos se limitaban a trasladar
el problema a una rama distinta de la matemática. Aunque el gran matemático
alemán David Hilbert (1862-1943) sí fue capaz de demostrar que la geometría
euclidiana era coherente siempre que lo fuese la aritmética, la coherencia de
esta última no estaba de ningún modo establecida sin ambigüedad en aquellos
momentos.
En el campo de las
relaciones entre la matemática y el mundo físico había hecho su aparición un
nuevo aspecto sensacional. Durante muchos siglos, la interpretación de la
matemática como una forma de ver el cosmos se había ampliado de forma continua
y espectacular. La matematización de las ciencias por parte de Galileo,
Descartes, Newton, los Bernoulli, Pascal, Lagrange, Quetelet y otros se
consideraba una prueba sólida del diseño matemático subyacente de la
naturaleza. Claramente, se podía argumentar que, si la matemática no era el
lenguaje del cosmos, ¿por qué funcionaba tan bien para explicarlo, desde las
leyes básicas de la naturaleza a las características humanas?
Es cierto que los
matemáticos se daban cuenta de que la matemática trataba sólo con formas
platónicas más bien abstractas, pero estas formas se consideraban como
idealizaciones razonables de los objetos físicos reales. De hecho, la sensación
de que el libro de la naturaleza estaba escrito en el lenguaje de la matemática
estaba tan arraigada que muchos matemáticos rechazaban de plano la posibilidad
de que los conceptos y las estructuras matemáticas no estuviesen directamente
relacionadas con el mundo físico. Era el caso, por ejemplo, del pintoresco
Gerolamo Cardano (1501-1576). Cardano era un matemático de talento, un médico
de renombre y un jugador compulsivo. En 1545 publicó uno de los libros más
influyentes de la historia del álgebra: el Ars
Magna.
En este exhaustivo
tratado, Cardano investigaba en gran detalle las soluciones de las ecuaciones
algebraicas, desde la simple ecuación cuadrática (en la que la incógnita
aparece elevada al cuadrado, x2)
hasta innovadoras soluciones de las ecuaciones cúbicas (con la incógnita
elevada al cubo, x3) y
cuárticas (elevada a la cuarta potencia, x4).
Sin embargo, en la matemática clásica, las cantidades se solían interpretar
como elementos geométricos. Por ejemplo, el valor de la incógnita x se identificaba con un segmento de
recta de esa misma longitud, la segunda potencia, x2, era un área y la tercera, x3, era un sólido con el volumen correspondiente. Así,
en el primer capítulo del Ars Magna,
Cardano explica:[185]
Finalizamos nuestra
detallada consideración con la cúbica, mencionando otras de paso, aunque sea de
modo general. Porque, así como positio
[la primera potencia] se refiere a una línea, quadratum [el cuadrado] a una superficie y cubum [el cubo] a un cuerpo sólido, sería insensato por nuestra
parte ir más allá. La naturaleza no lo permite. Entonces, como se verá, todas
las cuestiones hasta el cúbico incluso están perfectamente demostradas, pero en
el caso de las otras que añadiremos, sea por necesidad o por curiosidad, nos
limitaremos simplemente a formularlas.
En otras palabras,
Cardano razona que, puesto que nuestros sentidos perciben el mundo físico sólo
con tres dimensiones, sería una tontería que los matemáticos se preocupasen por
un número superior de dimensiones o con ecuaciones de un grado mayor.
El matemático inglés
John Wallis (1616-1703), de cuya obra Arithmetica
Infinitorum aprendió Newton métodos de análisis, expresaba una opinión
similar. En otro importante libro, Tratado
de álgebra,[186] Wallis declaraba: «La Naturaleza, en propiedad
del lenguaje, no admite más de tres
dimensiones (locales)». Y a continuación entraba en detalles:
Una línea trazada sobre
una línea hará un Plano o Superficie; ésta, trazada en una línea, hará un
sólido. Pero, si este sólido se pudiese trazar sobre una línea, o este plano
sobre un plano, ¿qué generaría? ¿Un planiplano? Eso es un monstruo de la
Naturaleza, y no más posible que una Quimera [un monstruo de la mitología
griega que exhalaba fuego, mezcla de serpiente, león y cabra] o un Centauro
[otro ser mitológico griego con el torso de un hombre y el cuerpo y patas de un
caballo]. Porque la Longitud, la Anchura y el Grosor ocupan ya todo el espacio,
y nuestra Fantasía no es capaz de imaginar cómo podría existir una Cuarta
Dimensión Local más allá de estas Tres.
De nuevo, la lógica de
Wallis era perfectamente clara: no tenía sentido siquiera imaginar una
geometría que no describiese el espacio real.
Las opiniones, sin
embargo, empezaron a cambiar.[187] Los matemáticos del siglo XVIII
fueron los primeros en considerar el tiempo como una posible cuarta dimensión.
En un artículo titulado «Dimensión»,[188] publicado en 1754, el
físico Jean D'Alembert (1717-1783) escribía:
Decía antes que es
imposible concebir más de tres dimensiones. Un hombre de diversos talentos,
conocido mío, sostiene que la duración se puede contemplar como una cuarta
dimensión, y que el producto del tiempo y la solidez es, en cierto modo, un
producto de cuatro dimensiones. Es posible estar en desacuerdo con esta idea,
pero a mí me parece que su mérito va más allá de la simple novedad.
El gran matemático
Joseph Lagrange iba un paso más allá; en 1797 afirmaba:[189]
Puesto que una posición
en el espacio depende de tres coordenadas rectangulares, en los problemas de
mecánica estas coordenadas se conciben como funciones de t [tiempo]. Así,
podemos contemplar la mecánica como una geometría de cuatro dimensiones, y el
análisis mecánico como una extensión del análisis geométrico.
Estas audaces ideas
abrieron la puerta a una extensión de la matemática que, hasta ese momento, se
había tomado como inconcebible: geometrías de cualquier número de dimensiones,
sin tener en cuenta su relación con el espacio físico.
Kant podía equivocarse
al creer que nuestros sentidos de la percepción espacial siguen exclusivamente
patrones euclidianos, pero no cabe duda de que nuestra percepción sólo funciona
de forma natural e intuitiva en tres o menos dimensiones. Podemos imaginar con
relativa facilidad el aspecto de nuestro mundo tridimensional en el universo de
sombras de dos dimensiones de Platón, pero pasar de las tres hacia un número
mayor de dimensiones requiere realmente la imaginación de un matemático.
El trabajo más
innovador sobre el tratamiento de la geometría
n-dimensional—geometría en un número de dimensiones arbitrario— se lo
debemos en parte a Hermann Gunther Grassmann (1809-1877). Grassmann, que tenía
once hermanos y que fue padre de once hijos, era un maestro de escuela sin
formación matemática universitaria.[190] Durante su vida fue más
reconocido por su trabajo en lingüística (en particular por sus estudios sobre
el sánscrito y el gótico) que por sus logros matemáticos. Uno de sus biógrafos
escribió: «Al parecer, es el destino de Grassmann que lo redescubran de vez en
cuando, y cada vez es como si hubiese sido prácticamente olvidado desde su
muerte». Y sin embargo, Grassmann fue responsable de la creación de una ciencia
abstracta de «espacios», en la cual la geometría habitual no era más que un
caso especial. Grassmann publicó sus pioneras ideas (que dieron origen a una rama
de la matemática denominada álgebra lineal) en 1844, en un libro al que se
suele llamar Ausdehnungsle-hre (que
significa Teoría de la extensión, el
título completo es: Teoría de extensión
lineal: una nueva rama de la matemática).
En el prólogo de su libro,
Grassmann escribía: «… la geometría no puede en modo alguno verse … como una
rama de la matemática; la geometría está relacionada con algo que ya existe en
la naturaleza, a saber, el espacio. También me di cuenta de que debe de haber
una rama de la matemática que, de un modo puramente abstracto, genere leyes
similares a las de la geometría».
Este punto de vista
sobre la naturaleza de la matemática era radicalmente novedoso. Para Grassmann,
la geometría tradicional —herencia de los antiguos griegos— trata del espacio
físico, así que no se puede considerar una verdadera rama de la matemática
abstracta. Según él, la matemática es un constructo más bien abstracto del
cerebro humano, que no tiene por qué tener aplicación alguna en el mundo real.
Es fascinante seguir el
hilo aparentemente trivial de las ideas de Grassmann hasta llegar a su teoría
del álgebra geométrica.[191] Empezó por la fórmula simple AB + BC =
AC, que aparece en cualquier libro de geometría al hablar de la longitud de
segmentos (véase figura 46a).
Pero Grassmann notó
algo interesante. Descubrió que la fórmula sigue siendo válida independientemente del orden de los
puntos A, B, C, mientras no se interprete AB, BC, etc. como simples longitudes,
sino que se les asigne también una «dirección», de modo que BA = −AB.
Por ejemplo, si C se
halla entre A y B (como en la figura 46b), entonces AB = AC + CB, pero como CB
= −BC, hallamos que AB = AC − BC, y volvemos a la fórmula original AB + BC = AC
con sólo sumar BC en ambos lados.
Esto ya era interesante
de por sí, pero la extensión de Grassmann aún reservaba más sorpresas.
Obsérvese que, si hablamos de álgebra y no de geometría, una expresión como AB
suele denotar el producto A x B. En tal caso, la sugerencia de Grassmann según
la cual BA = −AB viola una de las leyes sacrosantas de la aritmética: dos
cantidades multiplicadas entre sí producen el mismo resultado
independientemente del orden de las cantidades. Grassmann se enfrentó de lleno
a esta perturbadora posibilidad e inventó un álgebra nueva y coherente
(denominada álgebra exterior) que permitía diversos procesos de multiplicación
y, al mismo tiempo, podía manejar la geometría en cualquier número de
dimensiones.
En la década de 1860,
la geometría n-dimensional se extendía como una mancha de aceite.[192]
No sólo estaba la conferencia fundamental de Riemann, que había establecido
como área esencial de investigación los espacios de cualquier curvatura y de un
número arbitrario de dimensiones, sino que otros matemáticos, como Arthur
Cayley y James Sylvester en Inglaterra y Ludwig Schläfli en Suiza, ampliaban
ese campo con sus propias contribuciones. Los matemáticos empezaron a sentirse
liberados de las restricciones que durante siglos habían ligado la matemática
únicamente a los conceptos de espacio y número. A lo largo de la historia, esas
ataduras se habían tomado tan en serio que, incluso en pleno siglo XVIII, el
prolífico matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) expresaba así su punto de
vista: «En general, la matemática es la ciencia de la cantidad, o la ciencia
que investiga las formas de medir la cantidad». Los vientos del cambio no
empezaron a soplar hasta el siglo XIX.
En primer lugar, la
introducción de los espacios geométricos abstractos y la noción de infinito
(tanto en geometría como en la teoría de conjuntos) habían emborronado el
significado de «cantidad» y de «medida» hasta el punto de que ya no eran
reconocibles. En segundo lugar, el creciente número de estudios sobre
abstracciones matemáticas contribuyeron a alejar aún más esta disciplina de la
realidad física y, simultáneamente, insuflaron vida y «existencia» en las
propias abstracciones.
Georg Cantor
(1845-1918), el creador de la teoría de
conjuntos, describía el nuevo espíritu de libertad de la matemática en la
siguiente «declaración de independencia»:[193] «La matemática es, en
su desarrollo, completamente libre, y su único límite es la cuestión evidente
por sí misma de que sus conceptos deben ser coherentes entre sí y poseer
relaciones exactas, ordenadas por definiciones, con los conceptos presentados
con anterioridad y ya establecidos». A lo que el algebrista Richard Dedekind
(1831-1916) añadiría, seis años después:[194] «Considero que el concepto
de número es totalmente independiente de las nociones o intuiciones de espacio
y tiempo … Los números son creaciones libres de la mente humana». Es decir,
tanto Cantor como Dedekind veían la matemática como una investigación abstracta
y conceptual, restringida únicamente por el requisito de coherencia, sin
obligación alguna hacia el hecho de calcular ni hacia la condición de ser el
lenguaje de la realidad física. Cantor lo resumía con estas palabras: «… la esencia de la matemática radica por
completo en su libertad».
A finales del siglo
XIX, casi todos los matemáticos aceptaban la visión de Cantor y Dedekind acerca
de la libertad de la matemática. El objetivo de la matemática cambió de la
investigación de las verdades de la naturaleza a la construcción de estructuras
abstractas —sistemas de axiomas— y la búsqueda de las consecuencias lógicas de
tales axiomas. Uno podría imaginar que de este modo se liquidaba la cuestión
eterna de si la matemática era descubierta o inventada. Si la matemática no era
más que un juego, por muy complejo que fuese, con reglas arbitrarias
inventadas, no tenía sentido creer en la realidad de los conceptos matemáticos,
¿verdad?
Pues, por sorprendente
que parezca, este alejamiento de la realidad física llevó a algunos matemáticos
a opinar exactamente lo contrario. En lugar de concluir que la matemática era
una invención humana, regresaron a la noción platónica original de la
matemática como mundo de verdades independientes, cuya existencia era tan real
como la del universo físico. Estos «neoplatóni-cos» calificaban los intentos de
relacionar la matemática con la física como escarceos con la matemática aplicada, en oposición a la matemática pura, que se suponía indiferente a
cualquier elemento físico. Así lo expresaba el matemático francés Charles
Hermite (1822-1901) en una carta dirigida al matemático holandés Thomas Joannes
Stieltjes (1856-1894) el 13 de mayo de 1894:[195]
Mi querido amigo, soy
muy feliz al ver tu inclinación por transformarte en un naturalista para
observar los fenómenos del mundo aritmético. Tu doctrina, a mi parecer, es la
misma que la mía; yo creo que los números y las funciones del análisis no son
productos arbitrarios de nuestra mente; creo que existen fuera de nosotros con
las mismas características necesarias que los elementos de la realidad
objetiva, y que nosotros los hallamos, los descubrimos y los estudiamos, del
mismo modo que los físicos, los químicos y los zoólogos.
El matemático inglés G.
H. Hardy, que practicaba la matemática pura, era uno de los platónicos más
categóricos. El 7 de septiembre de 1922, en una elocuente alocución en la
Asociación Británica para el Avance de la Ciencia, declaraba:
Los matemáticos han
construido gran número de sistemas geométricos distintos.[196]
Euclidianos y no euclidianos, de dos, tres o cualquier número de dimensiones.
Todos estos sistemas son igualmente válidos, y encarnan los resultados de las observaciones de la realidad de los
matemáticos, una realidad mucho más intensa y rígida que la dudosa y elusiva
realidad de la física … La función de un matemático es, pues, simplemente
observar los hechos de su propio e intrincado sistema de realidad, ese complejo
increíblemente bello de relaciones lógicas que constituye el contenido de su
ciencia, como si se tratase de un explorador oteando una lejana cordillera, y
registrar los resultados de sus observaciones en una serie de mapas, cada uno
de los cuales es una rama de la matemática pura. (La cursiva es mía).
Es evidente que,
incluso con las pruebas del momento que apuntaban a una naturaleza arbitraria
de la matemática, los platónicos más acérrimos no estaban dispuestos a entregar
sus armas. Fueran cuales fuesen las opiniones acerca de la realidad metafísica
de la matemática, había un concepto cada vez más obvio. Incluso dentro de la
aparentemente ilimitada libertad de la matemática, una restricción seguía en su
lugar, inmutable e inquebrantable: la de la coherencia
lógica. Los matemáticos y los filósofos eran más conscientes que nunca de
la imposibilidad de cortar el cordón umbilical entre la matemática y la lógica.
Y de aquí surgió una nueva idea: ¿sería posible construir toda la matemática
sobre una única base lógica? Y a la inversa: ¿podían utilizarse los métodos
matemáticos en el estudio del razonamiento en general?
Continua en:
¿Es Dios un Matemático? Mario Livio 2009 Capitulo VII Lógicos pensar sobre el razonamiento (I).
[172] Tofflerl970. <<
[173] Hume 1748. <<
[174] Según Kant, una de las
tareas fundamentales de la filosofía es explicar la posibilidad de un
conocimiento sintético a priori de los conceptos matemáticos. Entre las
numerosas referencias, quisiera destacar Hoffe 1994 y Kuehn 2001 para los
conceptos generales. Trudeau 1987 incluye un excelente comentario sobre su
aplicación a la matemática. <<
[175] Kant 1781. <<
[176] Véase Greenberg 1974
para una introducción no demasiado compleja a la geometría euclidiana y no
euclidiana. <<
[177] En Trudeau 1987 se
trata acerca de los teoremas demostrados sin el Quinto postulado. <<
[178] En Bonola 1955 se
puede hallar una magnífica descripción de los esfuerzos que condujeron
finalmente al desarrollo de la geometría no euclidiana. <<
[179] La traducción inglesa
de George Bruce Halsted 1891 de Estudios
geométricos sobre la teoría del paralelismo de Lobachevsky se incluye en
Bono-la 1955. <<
[180] Véase Gray 2004 para
una biografía y una descripción de su obra. El motivo por el que no he incluido
un retrato de Janos Bolyai es que la autenticidad del retrato que se suele
presentar es dudosa. Al parecer, el único retrato fiable es un relieve en la
fachada del Palacio de Cultura de Marosvásárhely. <<
[181] Gray 2004 incluye un
facsímil del original (en latín) y la traducción al inglés de George Bruce
Halsted. <<
[182] Véase Dunnington 1955
para una excelente descripción del episodio desde la perspectiva de la vida y
obra de Gauss. Véase Kline 1972 para un resumen detallado de las
manifestaciones de prioridad por parte de Lobachevsky y Bolyai. En Ewald 1996
se presenta parte de la correspondencia de Gauss acerca de la geometría no
euclidiana. <<
[183] Una traducción inglesa
de la conferencia, así como otros documentos fundamentales sobre geometrías no
euclidianas con esclarece-doras notas, se pueden hallar en Pesic 2007. <<
[184] Poincaré 1891.
<<
[185] Cardano 1545. <<
[186] Wallis 1685. Véase
Rouse Ball 1908 para un conciso resumen sobre la vida y obra de Wallis.
<<
[187] Véase Cajori 1926 para
un breve resumen de la historia. <<
[188] Este artículo apareció
en la Encyclopédie editada por
Diderot. Citado en Archibald 1914. <<
[189] Lagrange 1797.
<<
[190] Petsche 2006 es una
excelente biografía y descripción de la obra de Grassmann (en alemán). Véase
O'Connor y Robertson 2005 para un breve y excelente resumen. <<
[191] Feamly-Sander 1979,
1982 incluye descripciones relativamente accesibles (aunque algo técnicas) de
su trabajo en álgebra lineal. <<
[192] Sommerville 1929 es un
buen texto introductorio. <<
[193] El texto aparece en
Ewald 1996. <<
[194] El texto aparece en
Ewald 1996. <<
[195] La primera carta de
Stieltjes a Hermite tenía fecha de 8 de noviembre de 1882. La correspondencia
entre ambos matemáticos consta de 432 cartas. Hermite 1905 contiene la
correspondencia completa. Yo mismo traduje al inglés el texto que aparece aquí.
<<
[196] La conferencia se
encuentra en O'Connor y Robertson 2007. <<
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