Se puede comprobar fácilmente que Newton y Kepler modelaron sus órbitas planetarias de una manera esencialmente geométrica. Sin embargo, las elipses en sí no tienen existencia física en el espacio; son tan sólo senderos invisibles trazados por un planeta en órbita. Así pues, resultaba muy útil encontrar una herramienta matemática que pudiera describir los planetas en movimiento más que construir sus trayectorias geométricamente, punto por punto. Pero aquellos que intentaron crear la transición a partir de una secuencia de movimientos rectilíneos hacia una trayectoria verdadera resucitaron los problemas de lo infinito y de lo infinitesimal.
Antes de detenernos en la invención del cálculo, es necesario considerar los primeros intentos realizados para solucionar los problemas de las áreas y las tangentes. Este «precálculo» se encuentra ya en Arquímedes, quien desarrolló dos métodos para encontrar áreas enmarcadas por líneas curvas, a menudo citados como métodos geométricos y mecánicos. Uno de los problemas más famosos que nos legaron los antiguos fue la cuadratura del círculo, es decir, encontrar el cuadrado que tiene la misma área que un círculo dado. En su breve tratado Sobre la medición de los círculos, Arquímedes prueba dos importantes resultados: el primero, que el área de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base sea el perímetro del círculo y cuya altura sea el radio de ese mismo círculo, equivalente a la fórmula πr², pero sin la necesidad de expresar π de manera explícita. El segundo resultado relevante fue la prueba de que el valor numérico de π estaba entre 3 1/7 y 3 10/71. En ambos casos, el método geométrico utilizado fue dibujar los polígonos inscriptos y circunscriptos del círculo; doblando repetidamente el número de lados de cada polígono, vemos que se acercan cada vez más a la circunferencia del círculo.
No sólo eso, sino que los dos polígonos tienden a acercarse entre sí, como si emparedaran al círculo, así que si se prosigue el proceso ad infinitum (lo que los matemáticos llaman «en el límite»), las áreas de los polígonos tienden hacia el área del círculo. Para encontrar el valor π, Arquímedes empezó con los hexágonos inscriptos y circunscriptos, y finalizó el proceso tras encontrar un polígono de noventa y seis caras, aunque podría haber continuado hasta haber encontrado cualquier nivel de precisión previamente establecido. El procedimiento era justificado al emplear el método de exhausción, atribuido a Eudoxo, pero Arquímedes evitó la afirmación de que los polígonos, de algún modo, se convertían en el círculo, apoyándose en un extenso argumento lógico. Esta reticencia es comprensible, pues evitaba una especie de salto de fe necesario para pasar de un polígono a un círculo, que, para los griegos, eran dos tipos de objetos muy diferentes.
A principios del siglo XVII, creció el interés por generar diferentes curvas y descubrir sus longitudes, las áreas y volúmenes generados al hacerlas rotar. Este interés provenía de toda una variedad de intereses mecánicos tanto a nivel estático como dinámico. Establecer matemáticamente el centro de gravedad de un objeto era importante, pues concernía a su estabilidad y éste, obviamente, era uno de los temas esenciales de materias como la arquitectura o la construcción de barcos. Los métodos utilizados cabían esencialmente dentro de las dos categorías de Arquímedes, pero poco a poco se empezó a pensar que, a pesar de sus problemas lógicos, los métodos que implicaban números indivisibles o infinitesimales en cierta forma producían resultados correctos de manera más sencilla a como lo hacían los métodos geométricos.
Los matemáticos ya no pudieron evitar el tratar con los conceptos de infinitud e infinitesimales, las Escila y Caribdis de la matemática griega. Kepler utilizó métodos infinitesimales para calcular el área que describía un planeta en una órbita elíptica. De manera más imprevisible, en un libro titulado Stereometria doliorum (1615), calculó el volumen de un tonel de vino utilizando una infinidad de partes infinitesimales. Galileo creía en la existencia real del infinito, citando como ejemplo el círculo como un polígono con un infinito número de lados. En el mismo periodo, Bonaventura Cavalieri (1598-1647), un alumno de Galileo y profesor de matemáticas en Bolonia desde 1629, publicó un voluminoso tomo, de casi setecientas páginas, sobre los métodos para encontrar áreas y volúmenes. Su Geometría indivisibilibus continuorum (1635) analiza diferentes métodos de indivisibles, manipulando áreas como si éstas estuvieran compuestas por líneas indivisibles y volúmenes como si estuvieran compuestos por áreas indivisibles. El resultado fue una fórmula para el área bajo curvas con la forma y = xⁿ para cualquier valor entero de n.
Observemos ahora los desarrollos del precálculo para encontrar las tangentes de las curvas. Pierre de Fermat desarrolló ciertos resultados importantes, pero no los publicó formalmente, confiando, por el contrario, en su difusión a través de la red de correspondencias matemáticas orquestada por Marin Mersenne. Fermat desarrolló métodos para encontrar tangentes de cualquier punto de una curva polinómica, así como para establecer sus máximos y sus mínimos. También redescubrió las reglas de Cavalieri para las áreas bajo curvas con la forma y = xⁿ, ampliándolas para que la n pudiera ser tanto positiva como negativa. El único caso anómalo era n = - 1, para el que sabemos que se requiere una función logarítmica. Los métodos empleados por Fermat están muy cerca de los hoy utilizados en el cálculo diferencial, excepto que Fermat no utilizó el concepto de límite. En ninguno de los escritos de Fermat sobre el análisis infinitesimal se hace mención del aspecto clave de este nuevo análisis: que el cálculo de tangentes y el de áreas son esencialmente inversos entre sí. Tampoco intenta usar esos métodos en otras funciones.
El conjunto de los métodos de precálculo pronto formó parte de una nueva rama de las matemáticas. Como en muchos otros casos en la historia, lo que se llega a convertir en revolucionario parece a menudo estar en el aire, simplemente esperando que alguien lo atrape y le dé una forma concreta. En este caso, la invención del cálculo se adjudica a dos hombres: Isaac Newton y Goddfried Leibniz. Como en cualquier invención compartida, siempre existe la persistente duda de que uno de los dos fue el primero, y el ambiente de una disputa de prioridades recorrió Europa.
En 1669, Newton escribió De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas, en el que trató series de potencias infinitas de la misma forma que las series finitas, y posteriormente amplió el teorema del binomio a cualquier potencia racional. En De Analysi encontramos un método similar al de Fermat, pero más potente debido al uso de series infinitas. También fue la primera vez en la que el hallazgo de un área bajo una curva era presentado explícitamente como lo inverso a encontrar la tangente. En 1671 escribió otro artículo sobre lo que en aquel momento denominaba fluxiones y fluentes. En su trabajo presentaba las cantidades x e y como algo que fluía respecto del tiempo.
Su primera explicación pública aparece en ciertos pasajes áridos y difíciles de seguir de los Principia, de 1687. Los Principia en sí parecen prescindir del cálculo, pues Newton muestra toda su física matemática en términos geométricos. Esta terca renuncia a publicar tal vez se pueda explicar por una aversión a las controversias públicas y a las disputas que podrían haber provocado sus escritos.
En los Principia hay una sección titulada «El método de las primeras y las últimas proporciones de cantidades», que proporciona demostraciones geométricas del cálculo diferencial e integral, y otra sección enumera resultados de lo que él llama «el momento de cualquier genitum», que ahora podemos denominar el diferencial de un término. Esta fue la primera expresión pública del nuevo cálculo; no resulta sorprendente que, aparte de unos pocos matemáticos, fuese infravalorado por la comunidad científica. Newton fue desde las pruebas geométricas a los resultados generales sin pasar por las manipulaciones algebraicas. Él admite en el texto que dicha demostración tal vez sea más fácil de presentar, pero siguió opinando que el hecho de demostrar mediante indivisibles descansa sobre unos fundamentos endebles. Newton no fue la primera persona en manejar la diferenciación y la integración, sino que fue el primero en crear un sólido marco de referencia en el que las dos operaciones eran inversas entre sí y, gracias a su trabajo sobre las series infinitas, extendió enormemente el ámbito de las funciones que podían ser utilizadas.
Aunque el cálculo de Leibniz también se desarrolló a partir del análisis de series, después adquirió una forma diferente: le fascinaron las sumas de series infinitas. Mientras, en París, había solucionado el problema de la suma de las series telescópicas, representadas por el término general 2 / [n (n + 1)]. Leibniz reescribió inteligentemente esta fórmula como la diferencia entre dos términos, o sea, 2 [1/n-1 /(n+1)], pues sólo escribiendo los primeros términos se hace obvio que todos ellos quedan cancelados, excepto el primero y el último. Ampliando la suma a un número infinito de términos se consigue la solución 2.
Leibniz jugueteó con muchas otras series, ganando experiencia a la hora de decidir si convergían o divergían. Entonces se dio cuenta de que el problema de encontrar la tangente de una curva se solucionaba encontrando la razón de las diferencias en ordenadas y abscisas, los valores de x e y, convertidas en infinitamente pequeñas, y que las áreas dependían de la suma de las ordenadas, o de rectángulos infinitamente estrechos que creaban el área bajo la curva. Al igual que en las sumas y las diferencias trabajó también en series numéricas que eran inversas unas de otras; así, los problemas de la tangente y el área eran también inversos. Todo pivotaba sobre el triángulo infinitesimal característico, el mismo triángulo que Newton describía como la «razón de las cantidades evanescentes». El concepto clave de Leibniz era el diferencial dx como un pequeño cambio infinitesimal en el valor de x. Para una función y = f(x), la tangente viene dada por dy/dx y el área por ∫ y dx. La notación para la integral también puede ser entendida como la afirmación de que es la suma de los rectángulos de lados y y dx.
Los manuscritos de Leibniz datan de 1675, pero los publicó, tras unos pocos cambios en la notación, en 1684, junto a un segundo artículo en 1686, ambos en el periódico Acta eruditorum, que había cofundado. Encontramos en ellos los teoremas estándar de cálculo, incluido el teorema fundamental del cálculo: que la diferenciación y la integración son procesos inversos. Leibniz puso énfasis en que el nuevo cálculo proporcionaba un algoritmo universal para resolver los problemas de la tangente y del área para todas las funciones, incluyendo las trascendentes, un término acuñado por Leibniz para denotar funciones, como sen x y ln x, que se pueden expresar como series infinitas de potencias pero que no son soluciones a ecuaciones algebraicas.
Los resultados obtenidos por Leibniz eran similares a los que Newton había obtenido pero que no había publicado. La disputa que surgió a raíz de las afirmaciones de primacía en la invención del cálculo amargó los últimos años de sus vidas.
(Textos extraídos de “Historia de las Matemáticas” de Richard Mankiewicz – Ediciones Paidós Ibérica SA).
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