Tartaglia y Cardano

En la época en que florecen los dos matemáticos a quienes se contrae este ensayo, había desaparecido ya la separación entre la Aritmética práctica, que se enseñaba por medio del ábaco, y la Aritmética teórica, que comprendía las propiedades de los números y las proporciones con arreglo a la tradición romana, y se hablaba de una Aritmética universal que participaba del Álgebra: Aritmética algorítmica, a cuyo desarrollo contribuyó en gran parte la difusión de los calendarios –tanto para usos eclesiásticos como astrológicos y médicos-porque tenían las fechas indicadas en caracteres indios –impropiamente llamados arábigos-, los cuales derrotaron definitivamente a las cifras romanas en toda Europa, excepto en Italia, hasta el siglo XV, a pesar de ser ésta la cuna de la Aritmética mercantil –una de cuyas primeras conquistas fue el sistema de contabilidad por partida doble- y a pesar de los esfuerzos de Leonardo de Pisa, que dedica un capítulo de su famoso Liber Abaci a cantar las excelencias de los diez guarismos, incluyendo el cero: quod arabice zephirum apellatur.

   Triunfante, al fin, la enumeración india y destruida la barrera que separaba las dos aritméticas, renace el Álgebra sincopada que desde Diofanto de Alejandría, su verdadero iniciador, había permanecido en estado larval durante la Edad Media.

   Aprovechando las fuentes árabes de origen indio y, prescindiendo de las inspiradas en las obras didácticas griegas, que no sólo que no sustituyen el cálculo de cantidades por combinaciones imaginadas con éstas, sino que tampoco explican ni aun las fórmulas de las áreas, por medio de la medida de sus magnitudes, las reglas del Álgebra extraían su demostración de las construcciones geométricas.

   Como concepción sintética de la Matemática, el Álgebra es una técnica de cálculo sin contenido, un método; el método matemático por excelencia, en el sentido luliano, cuyo papel se reduce a asociar elementos simples de tal modo que, formando progresivamente compuestos cuya estructura es cada vez más complicada, tiende a hacer inútil la inteligencia y a reducir el razonamiento a reglas que se dejan aplicar pasivamente; pero como auxiliar de la Geometría, produjo frutos en el Renacimiento dando una fisonomía especial a la ciencia de Euclides y actuando sobre ella de un modo influyente para su desarrollo ulterior, a pesar de la pesadez, inelegancia y laboriosidad con que se aplicaba; y cuando aparecen en la historia de la Matemática Tartaglia y Cardano, el Álgebra sincopada sigue siendo una ciencia de origen árabe dedicada al estudio sistemático de las ecuaciones o regla de la cosa, así llamada por haberse dado a la incógnita el nombre res, cosa, que los algebristas de la época representaban por una R. La x con que hoy se representa es de origen cartesiano.

   Dos hechos simultáneos influyeron poderosamente en el progreso que inicia entonces el Álgebra: la invención de la imprenta y la toma de Constantinopla por los turcos. Gracias a los griegos cultos que huyeron de la invasión otomana, el Occidente europeo conoció a los grandes matemáticos antiguos cuyas obras habían sido desfiguradas por los copistas o por los traductores árabes; y los originales griegos, sustraídos al pillaje turco y multiplicados por el arte de Gutemberg, fueron la fuente purísima en que calmaron su sed de saber los matemáticos renacentistas.

   Estudiadas las ecuaciones de primero y segundo grado, la Matemática renacentista se hace esta pregunta: ¿Se puede encontrar la solución general de las ecuaciones literales de grado superior al segundo? Tartaglia, Cardano y sus discípulos contestaron afirmativamente para las de tercero y cuarto, pero quedó abierto un nuevo paréntesis que cerró Abel en el siglo XIX demostrando la imposibilidad de resolver algebraicamente las de grado superior al cuarto.

   Se ignora la fecha exacta del nacimiento de Tartaglia, cuyo verdadero nombre es Nicoló Fontana, según se desprende de su testamento, en el que deja por heredero a su hermano Giampietro Fontana; pero se le conoce en la Historia por su apodo de Tartaglia, el Tartamudo, a causa del defecto que tuvo  para hablar desde que, siendo niño, conoció los horrores de la guerra.

   Cuando Gaston de Foix tomó Brescia, ciudad natal de Tartaglia, el 19 de febrero de 1500, sus habitantes se refugiaron en la catedral acogiéndose al derecho de asilo; pero allanada ésta por los soldados, uno de ellos infirió heridas al pequeño Nicolás, que quedó con el cráneo toro, abiertas las dos mandíbulas y partida la lengua. Durante mucho tiempo no pudo hablar ni comer, y, como él mismo cuenta en sus Quesiti et inventioni diversi, fue su madre quien lo salvó “imitando a los perros, que se curan lamiéndose las heridas”.

   Por la misma obra sabemos que era hijo de un tal “Micheletto, cavallero de casaca ignota” quien, al morir, le dejó, niño aún, con un hermano algo mayor y una hermana, al cuidado de la madre “liquida di beni della fortuna”.

   Tartaglia fue un autodidacta. Luego de haber aprendido a leer y escribir, meditó sobre las obras de los muertos -”sopra le opere degli uomini difonti”, son sus palabras- dedicándose a la enseñanza en varias ciudades de la República de Venecia. En el trienio 1521-23 ejerció el profesorado en Verona; en 1526 estaba en Mantua; en 1534 enseñó en Venecia; en 1548 volvió a Brescia, regresando después a Venecia, donde murió el 13 de diciembre de 1557.  

   La humildad de su origen y la estrechez económica en que casi siempre vivió le impidieron tener una educación esmerada, por lo cual no escribió en latín, que era el idioma culto de su tiempo, sino en el italiano vulgar que hablaban sus conciudadanos.

   Esto es casi todo lo que se sabe de la vida del gran matemático, cuya primera obra: Nuova scientia, data de 1537. En ella establece los principios de la Balística y es, realmente, el primer libro que aplica el razonamiento matemático a los problemas bélicos. Tartaglia sostuvo que el efecto máximo se obtiene disparando el cañón bajo un ángulo de 45º y estudió la trayectoria de los proyectiles, cometiendo algunos errores que no fueron advertidos hasta 1590, en que Diego de Alava, gentilhombre de cámara de Felipe II, publicó en Madrid una obra con el mismo título, Nueva ciencia, que la de Tartaglia, en la que, a diferencia de éste, consideró que podían combinarse el movimiento natural y el violento de los proyectiles, deduciéndose de aquí que su trayectoria era una línea curva, estudiada matemáticamente por Jerónimo Muñoz, catedrático de la Universidad de Salamanca.

   Finalmente escribió el General trattato di numeri et misure, especie de enciclopedia del tipo de la Summa de Luca Pacioli, donde se encuentran incidentalmente preciosos informes sobre la vida ordinaria y los usos comerciales de la Italia renacentista.

   De Girolamo Cardano se sabe más. Nació en Pavía el 24 de septiembre de 1501 y su vida es una serie de actos incoherentes que pertenecen tanto a la historia de la Matemática como a la de la Astrología y a la de la Patología.

   Hijo de un jurisconsulto milanés, Cardano estudió primero en su ciudad natal y después en la Universidad de Papua, donde alcanzó la licenciatura en Medicina, que ejerció en Sacco y en Milán en el periodo 1524-1556 durante el cual estudió Matemática y publicó sus principales obras. Gracias al apoyo del cardenal legado consiguió un puesto en la Universidad de Bolonia; pero “no muy honesto, un poco astrólogo y charlatán y otro poco ateo y soplón”, hizo el horóscopo de Jesucristo y, naturalmente, dio con sus huesos en la cárcel el 14 de octubre de 1570, de la que salió un año después bajo palabra de no volver a dar lecciones públicas en ninguno de los Estados pontificios, y marchó a Roma, donde ejerció la Astrología con tanto éxito que llegó a ser el astrólogo más renombrado de su época. Este renombre le fue fatal, porque habiendo pronosticado el día de su muerte, se suicidó -21 de septiembre de 1576-para dejar a salvo su reputación.

   En De vita propia hace su autobiografía con estas palabras: “He recibido de la naturaleza un espíritu filosófico e inclinado a la ciencia. Soy ingenioso, amable, elegante, voluptuoso, alegre, piadoso, amigo de la verdad, apasionado por la meditación, y estoy dotado de talento inventivo y lleno de doctrina. Me entusiasman los conocimientos médicos y adoro lo maravilloso. Astuto, investigador y satírico, cultivo las artes ocultas. Sobrio, laborioso, aplicado, detractor de la religión, vengativo, envidioso, triste, pérfido y mago, sufro mil contrariedades. Lascivo, misántropo, dotado de facultades adivinatorias, celoso, calumniador e inconstante, contemplo el contraste entre mi naturaleza y mis costumbres”.

   Sus taras patológicas las heredaron sus hijos, el mayor de los cuales fue ajusticiado en 1560 por haber envenenado a su mujer, y el más pequeño cometió errores de conducta tan graves que el propio Cardano no se atrevió a divulgar y que le condujeron a la cárcel, no sin que antes su padre le cortara las orejas en un acceso de cólera, acto criminal que no fue castigado gracias a la protección de Gregorio XIII, en cuya corte Cardano prestaba servicios como astrólogo.

   Tartaglia y Cardano son los principales protagonistas de una de las más enconadas polémicas que registra la historia de la Matemática: la relativa a la ecuación de tercer grado.

   Los árabes habían resuelto algunas de estas ecuaciones geométricamente, pero su estudio sistemático corresponde a los italianos y provocó, como se acaba de decir, una famosa disputa, de acuerdo con el carácter de la época, que gustaba de los torneos y discusiones científicas. “Al ver los problemas de tercer grado que se proponían como desafío a principios del siglo XVI –dice Libri en su Historia de las matemáticas en Italia- se comprende la importancia que se daba entonces a los descubrimientos algebraicos, siendo difícil encontrar en la Historia de la Ciencia un ejemplo semejante. Las apuestas y discusiones públicas se sucedían sin interrupción, interesándose en ellas todas las clases sociales, como en la antigüedad se interesaban por los desafíos de los poetas y los combates de los gladiadores”.

   Aunque todavía no se ha dicho la última palabra sobre la cuestión objeto de este trabajo, parece que los primeros problemas de tercer grado fueron propuestos a Tartaglia en 1530, estando en Brescia, por medio de Zuanne del Coi, profesor de Milán, quien le pidió que resolviera estas dos cuestiones:

I – Encontrar un número que, multiplicado por su raíz aumentada en 3, dé 5

II- Encontrar tres números que se diferencien en 2 y cuyo producto sea 1000.

   Los que tengan conocimientos matemáticos comprenderán en seguida que se trata de resolver sendas ecuaciones de tercer grado, que Pacioli había declarado imposibles, pero que Tartaglia afirmó que eran resolubles.

   Enterado de esta actitud, Antonio del Fiore calificó de impostor a Tartaglia diciendo que él conocía un método empírico para resolver la ecuación cúbica que le había enseñado su maestro Escipión del Ferro, el cual lo vio probablemente en alguna obra árabe. Tartaglia contestó que sabía resolver las ecuaciones de los tipos  x x² + px = q  y  x x² = px + q  y que la  x x² + q = px, siendo p y q positivos, quedaba reducida a la primera por medio de una transformación fácil.

   Fiore desafió entonces a Tartaglia y, aceptando el reto, ambos depositaron en poder de un notario cierta cantidad de dinero que ganaría quien resolviera treinta problemas en el plazo máximo de cuarenta días. Tartaglia los resolvió todos en menos de dos horas y resumió sus reglas en versos mnemotécnicos.

   En 1539 entra en escena Cardano enviando a Tartaglia, con fecha 2 de enero, una carta en la que le dice que, conocedor del resultado de su disputa con Fiore y estando a punto de publicar una obra, quería incluir en ella la fórmula de la ecuación de tercer grado y consignar el nombre de su descubridor, por lo cual le rogaba que le comunicase todo lo que se relacionara con el asunto y muy especialmente los enunciados de los famosos treinta problemas.

   Tartaglia se negó a ello y entonces Cardano, irritado, le envió otra carta llena de reproches; pero, comprendiendo que no era éste el camino adecuado para conseguir lo que quería, cambió de táctica y, con amables palabras, le instó a pasar unos días en Milán, donde le decía que le esperaba con impaciencia el marqués del Vasto, protector suyo y mecenas de los científicos.

   Aceptó Tartaglia la invitación, y el 25 de marzo se dirigió a Milán, hospedándose en casa del propio Cardano luego de saber que el marqués se había marchado a Vigevano. El matemático milanés procuró convencer por todos los medios a su colega para que le dijera el secreto de la ecuación cúbica. “Os juro sobre los santos Evangelios -le dijo- que si me comunicáis vuestros descubrimientos no los publicaré jamás y los anotaré sólo para mí en cifra, a fin de que nadie pueda comprenderlos hasta después de mi muerte”.

   Tartaglia cedió, al fin, a tan insistentes ruegos y regresó a Venecia, desde donde se carteó con Cardano sobre algunos desarrollos complementarios. A través de esta correspondencia se advierte que las relaciones entre ambos se iban enfriando, y la carta de Cardano del 5 de Enero de 1540 quedó ya sin respuesta.

   Auxiliado por su discípulo Ferrari, aquél consiguió ampliar las reglas de Tartaglia, y en 1545 publicó su famosa Ars Magna, en cuyo primer capítulo dice lo siguiente: “Escipión del Ferro, de Bolonia, encontró hace tiempo nuestro capítulo verdaderamente bello y admirable Del cubo y de las cosas iguales a número. Tal arte, superando a toda humana sutileza y al esplendor de todo ingenio mortal, atestigua el valor de su mente, y es cosa de tanta maravilla que quien la ha inventado puede vanagloriarse de que nadie le superará. Emulo suyo es mi amigo Nicolás Tartaglia, de Brescia, quien, en una disputa que sostuvo con Antonio María del Fiore, discípulo de Escipión del Ferro, también lo encontró y me lo comunicó a mi ruego, sin demostración, la cual he redactado en diferentes casos con el auxilio de mi antiguo discípulo Luis Ferrari. Lo de éste va con su nombre y todo lo demás es cosa mía”.

   Irritado por estas palabras sinuosas, Tartaglia desafió a Cardano; pero éste, deseando quedar al margen de toda disputa, se entendió con Ferrari, el cual envió a aquél desde Milán un cartello di sfida, proponiéndole una “controversia pública en un lugar cómodo para los dos y ante jueces idóneos, sobre Geometría, Aritmética y todas las disciplinas que dependen de éstas”, declarando estar dispuesto a hacer un depósito de doscientos escudos destinados al vencedor y dándole un plazo de treinta días para contestarle”.

   La respuesta no se hizo esperar. Nueve días después le escribió Tartaglia desde Venecia, aceptando; pero con la condición de que Cardano tomara parte de la contienda.

   Ferrari respondió en abril del mismo año con otro cartel de desafío que agrió la cuestión. Aparte del detalle de estar escrito en latín –con la aviesa intención de poner en apuro a Tartaglia, dada su poca cultura literaria-  decía que durante un viaje de Milán a Florencia, en el año 1542, y mientras descansaba en Bolonia, Aníbal de la Nave había comunicado a Cardano un cuaderno de Escipión del Ferro en el cual “estaba expuesta elegante y completamente la resolución de la ecuación cúbica”, dato de gran interés histórico puesto que permitía poner en duda el derecho de prioridad de Tartaglia; pero demostraba también la mala fe de Cardano de ocultarlo.

   El 27 de abril contesta largamente Tartaglia insistiendo en que asistiera Cardano al torneo, en el que podían tomar parte, además, todos los matemáticos del mundo, y le planteaba treinta y un problemas, diecisiete de los cuales se refieren a construcciones con una sola abertura de compás, tema que había sido tratado por Abulguafa y por Alberto Durero, y parece que también por Escipión del Ferro; pero así como éstos utilizaban una abertura en cada caso, Tartaglia exigía que el radio fuese el mismo en todos los problemas, inspirándose, evidentemente, en consideraciones teóricas.

   Ferrari contestó el 24 de mayo con una carta plagada de injurias, presentando sus contraposiciones y planteando otros problemas –treinta y uno en total- más complicados que los de Tartaglia, y algunos de los cuales excedían de sus recursos matemáticos.

   Fechada el 23 de junio, apareció la respuesta de Tartaglia, resolviendo veintiséis de los treinta y un problemas. El 10 de agosto publicó Ferrari su cuarto cartel de desafío, en el que hay muchos insultos y poca Matemática, al cual contestó Tartaglia el 30 del mismo mes resolviendo las cuestiones que había dejado pendientes en su respuesta anterior y reiterando su deseo de que Cardano tomase parte en la discusión, adivinando, lógicamente, que éste andaba entre bastidores.

   El quinto cartel de Ferrari, aparecido en octubre, tiene mayor interés. Empieza con una digresión de carácter jurídico acerca de las autoridades científicas que deben dirimir la contienda, critica después las soluciones de Tartaglia con palabras apasionadas e injustas, tras de las cuales se advierte la presencia de Cardano, y termina resolviendo algunos de los problemas propuestos por su rival el 27 de abril, es decir: que tardó seis meses en dar sus soluciones –Tartaglia las dio siempre inmediatamente- y ello gracias a la colaboración de Cardano, como éste mismo afirma en su obra De Subtilitate.

   Aceptando en principio el desafío matemático, ambos rivales llegaron a un acuerdo sobre las condiciones citándose para el 10 de agosto en la cátedra Giardino de los recoletos de Milán. De esta famosa polémica no conocemos, desgraciadamente, más que las referencias de uno de los contendientes: Tartaglia, lo que impide juzgarla con imparcialidad.

  Es indudable, pues, que Tartaglia fue quien resolvió la ecuación de tercer grado tal como ha llegado a nosotros, con absoluta independencia del método empírico que del Ferro consignó en el cuaderno que todavía no se ha encontrado a pesar de las pacientes y minuciosas búsquedas de matemáticos e historiadores.

(Textos extraídos de “Veinte matemáticos célebres” de Francisco Vera – Cía.Gral. Fabril Editora SA)